Fiche de mathématiques

Télécharger (GRATUIT)

Ile mathématiques > maths bac > Bac 2017

Baccalauréat Mathématiques

ES-L Obligatoire

Remplacement Polynésie Française 2017

Bac ES-L Obligatoire Remplacement Polynésie Française 2017 : image 10

Bac ES-L Obligatoire Remplacement Polynésie Française 2017 : image 1

Bac ES-L Obligatoire Remplacement Polynésie Française 2017 : image 4

Bac ES-L Obligatoire Remplacement Polynésie Française 2017 : image 3

Bac ES-L Obligatoire Remplacement Polynésie Française 2017 : image 2

Bac ES-L Obligatoire Remplacement Polynésie Française 2017 : image 9

Bac ES-L Obligatoire Remplacement Polynésie Française 2017 : image 6

Bac ES-L Obligatoire Remplacement Polynésie Française 2017 : image 8

Bac ES-L Obligatoire Remplacement Polynésie Française 2017 : image 7

Bac ES-L Obligatoire Remplacement Polynésie Française 2017 : image 5

Corrigé : Bac ES-L Obligatoire Remplacement Polynésie Française 2017

5 points

exercice 1

Partie A

1. Graphiquement, nous observons que l'ordonnée à l'origine de la droite (PR ) est égale à 2.

De plus le coefficient directeur de (PR) est égal à $\dfrac{y_R-y_P}{x_R-x_P}=\dfrac{6-3}{4-1}=\dfrac{3}{3}=1.$

D'où la droite (PR ) admet pour équation : y = x + 2.

Par conséquent, la réponse correcte est la réponse $\red{\boxed{\text{(b)}}}$ .

2. Le point P (1 ; 3) appartient à la courbe $\mathscr{C}$ implique

f (1) = y _P
implique

f (1)=3.

f' (1) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 1, soit le coefficient directeur de la droite (PR ).
Nous avons montré dans l'exercice 1-1. que ce coefficient directeur est égal à 1.
D'où f' (1) = 1.

3. Nous observons que sur l'intervalle ]0 ; 10], la courbe $\mathscr{C}$ est en-dessous de toutes ses tangentes.
D'où la fonction f est concave sur l'intervalle ]0 ; 10].

Par conséquent, la réponse correcte est la réponse $\red{\boxed{\text{(b)}}}$

4. La fonction f est continue et positive sur l'intervalle [1 ; 2].

$\int\limits_1^2f(x)\,dx$ représente alors l'aire de la surface comprise entre la courbe $\mathscr{C}$ , l'axe des abscisses, les droites d'équations x = 1 et x = 2 (la surface est colorée en rouge sur la figure ce-jointe).

Bac ES-L Obligatoire Remplacement Polynésie Française 2017 : image 15

Sur la figure, nous observons que cette surface est comprise entre le rectangle GPHM de dimension 1 multiplie

3 et le rectangle GJKM de dimension 1 multiplie

4.

Par conséquent, $\boxed{3<\int\limits_1^2f(x)\,dx<4}$

Partie B

$f(x)=-x\ln x+2x+1$

1. a) Calcul de la dérivée f' (x ).

$f'(x)=(-x\ln x)'+(2x)'+1'\\\\\phantom{f'(x)}=[(-x)'\times\ln x+(-x)\times(\ln x)']+2+0\\\\\phantom{f'(x)}=[(-1)\times\ln x+(-x)\times(\dfrac{1}{x})]+2\\\\\phantom{f'(x)}=-\ln x-1+2\\\\\phantom{f'(x)}=-\ln x+1\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=-\ln x+1}$

b) Etude du signe de f' (x ) et variations de la fonction f sur l'intervale ]0 ; 10].

$\begin{array}l {\red{f'(x)=0}}\Longleftrightarrow-\ln x+1=0\\\phantom{f'(x)=0}\Longleftrightarrow\ln x=1\\\phantom{f'(x)=0}\Longleftrightarrow x=e^1\\\phantom{f'(x)=0}\Longleftrightarrow\red{x=e}\end{array}\begin{array}l |\\|\\|\\|\end{array}\begin{array}l {\red{f'(x)>0}}\Longleftrightarrow-\ln x+1>0\\\phantom{f'(x)=0}\Longleftrightarrow\ln x<1\\\phantom{f'(x)=0}\Longleftrightarrow x<e^1\\\phantom{f'(x)=0}\Longleftrightarrow {\red{x<e}}\end{array}\begin{array}l |\\|\\|\\|\end{array}\begin{array}l {\red{f'(x)<0}}\Longleftrightarrow-\ln x+1<0\\\phantom{f'(x)=0}\Longleftrightarrow\ln x>1\\\phantom{f'(x)=0}\Longleftrightarrow x>e^1\\\phantom{f'(x)=0}\Longleftrightarrow{\red{ x>e}}\end{array}$

$\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&e&&10\\\hline f'(x)&||&+&0&-&\\\hline &||&&f(e)&& \\ f(x)&||&\nearrow&&\searrow& \\ &||&&{\red{\text{max}}}&&f(10) \\ \hline \end{array}$

Ce tableau nous montre que la fonction f admet un maximum pour x = e.

c) Calculons la valeur de ce maximum.

$f(e)=-e\ln e+2e + 1\\\phantom{f(e)}=-e\times1+2e + 1\\\phantom{f(e)}=-e+2e + 1\\\phantom{f(e)}=e + 1$

Par conséquent, la valeur exacte du maximum de la fonction f sur l'intervalle ]0 ; 10] est $\boxed{e + 1}$ .

2. Nous allons montrer que la fonction f est concave sur l'intervalle ]0 ; 10] en montrant que la dérivée seconde est négative sur ]0 ; 10].

$f''(x)=[f'(x)]'\\\\\phantom{f''(x)}=[-\ln x+1]'\\\\\phantom{f''(x)}=(-\ln x)'+1'\\\\\phantom{f''(x)}=-\dfrac{1}{x}+0\\\\\phantom{f''(x)}=-\dfrac{1}{x}\\\\\Longrightarrow\boxed{f''(x)=-\dfrac{1}{x}<0\ \ \ \ (\text{car }x > 0)}$

Puisque la dérivée seconde est négative sur ]0 ; 10], la fonction f est concave sur cet intervalle.

Par conséquent, la courbe $\mathscr{C}$ est entièrement située en-dessous de chacune de ses tangentes sur
l'intervalle ]0 ; 10].

3. La fonction F définie par $F( x)=-\dfrac{x^2}{2}\ln x+\dfrac{5}{4}x^2+x-7$ est une primitive de f sur ]0 ; 10].

$\text{Donc }\int\limits_1^2f(x)\,dx=\left[F( x)\right]\limits_1^2\\\phantom{\int\limits_1^2f(x)\,dx}=F(2)-F(1)\\\phantom{\int\limits_1^2f(x)\,dx}=(-\dfrac{2^2}{2}\ln 2+\dfrac{5}{4}\times2^2+2-7)-(-\dfrac{1^2}{2}\ln 1+\dfrac{5}{4}\times1^2+1-7)\\\phantom{\int\limits_1^2f(x)\,dx}=(-2\ln 2+5+2-7)-(-1\times0+\dfrac{5}{4}+1-7)\\\phantom{\int\limits_1^2f(x)\,dx}=-2\ln2-(-\dfrac{19}{4})\\\phantom{\int\limits_1^2f(x)\,dx}=-2\ln2+\dfrac{19}{4}\\\\\Longrightarrow\boxed{\int\limits_1^2f(x)\,dx=\dfrac{19}{4}-2\ln2}$

5 points

exercice 2

$f(x)=4e^{-0,5x+1}+x-1$

Partie A

$\text{\red{1. }}{f'(x)=4\times(-0,5x+1)'\times e^{-0,5x+1}+x'-1'}\\\\\phantom{ \text{\red{1. }}f'(x)}=4\times(-0,5)\times e^{-0,5x+1}+1-0\\\\\phantom{ \text{\red{1. }}f'(x)}=-2\times e^{-0,5x+1}+1\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=-2e^{-0,5x+1}+1}$

2. a) Résolvons dans l'intervalle [1 ; 10] l'équation f' (x ) = 0.

$\boxed{f'(x)=0}\Longleftrightarrow -2 e^{-0,5x+1}+1=0 \\\\\phantom{\boxed{f'(x)=0}} \Longleftrightarrow 2e^{-0,5x+1}=1\\\\\phantom{\boxed{f'(x)=0}} \Longleftrightarrow e^{-0,5x+1}=\dfrac{1}{2}\\\\\phantom{\boxed{f'(x)=0}} \Longleftrightarrow -0,5x+1=\ln \dfrac{1}{2} \\\\\phantom{\boxed{f'(x)=0}} \Longleftrightarrow -\dfrac{1}{2}x+1=-\ln 2\\\\\phantom{\boxed{f'(x)=0}} \Longleftrightarrow -\dfrac{1}{2}x=-1-\ln 2\\\\\phantom{\boxed{f'(x)=0}} \Longleftrightarrow \dfrac{1}{2}x=1+\ln 2\\\\\phantom{\boxed{f'(x)=0}} \Longleftrightarrow \boxed{x=2+2\ln 2}$

Par conséquent, sur l'intervalle [1 ; 10], l'équation f' (x ) = 0 admet pour unique solution le nombre = 2 + 2ln2.

b. Représentation du point de la courbe $\mathscr{C}$ d'abscisse alpha

Bac ES-L Obligatoire Remplacement Polynésie Française 2017 : image 13

3. Selon l'énoncé, nous admettons que l'ensemble des solutions sur l'intervalle [1 ; 10] de l'inéquation f' (x ) supegal

0 est [2 + 2ln2 ; 10].

Nous obtenons ainsi le tableau de variations de la fonction f :

$\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&1&&2+2\ln2&&10\\\hline f'(x)&&-&0&+&\\\hline &4e^{0,5}&&&&4e^{-4}+9 \\ f(x)&&\searrow&&\nearrow& \\ &&&3+2\ln2&& \\ \hline \end{array}\\\\\text{Remarque : }\ f(1)=4e^{-0,5\times1+1}+1-1=4e^{0,5}\\\phantom{\text{Remarque : }\ }f(2+2\ln2)=4e^{-0,5\times(2+2\ln2)+1}+2+2\ln2-1\\\phantom{\text{Remarque : }\ f(2+2\ln2)}=4e^{-1-\ln2+1}+1+2\ln2\\\phantom{\text{Remarque : }\ f(2+2\ln2)}=4e^{-\ln2}+1+2\ln2\\\phantom{\text{Remarque : }\ f(2+2\ln2)}=\dfrac{4}{e^{\ln2}}+1+2\ln2\\\\\phantom{\text{Remarque : }\ f(2+2\ln2)}=\dfrac{4}{2}+1+2\ln2\\\\\phantom{\text{Remarque : }\ f(2+2\ln2)}=3+2\ln2\\\\\phantom{\text{Remarque : }\ }f(10)=4e^{-0,5\times10+1}+10-1=4e^{-4}+9$

Partie B

1. Puisque x désigne le nombre de centaines de coques, nous devons calculer f (5).

$f(5)=4e^{-0,5\times5+1}+5-1\\\phantom{f(5)}=4e^{-1,5}+4\\\phantom{f(5)}\approx4,89$

Par conséquent, le coût de production d'une coque dans le cas de la fabrication de 500 coques par jour s'élève à environ 4,89 euros.

2. a) A partir du tableau de variations de f établi à la troisième question de la partie A, nous pouvons déduire que f admet un minimum pour x = 2 + 2ln2 environegal

3,39.

Par conséquent, l'entreprise minimisera le coût unitaire de production en produisant 339 coques par jour.

b) Ce tableau de variations de f montre également que ce minimum est égal à 3 + 2ln2 environegal

4,39.

Par conséquent, le coût minimal de production d'une coque est d'environ 4,39 euros.

Partie C

L'entreprise réalisera un bénéfice si le prix de vente d'une coque est supérieur à son coût de production, soit si g (x ) > f (x ).
Pour estimer les quantités de coques à produire par jour afin d'assurer un bénéfice, nous devons résoudre cette inéquation.

$g(x)>f(x)\Longleftrightarrow\boxed{-\dfrac{1}{4}x+6>4e^{-0,5x+1}+x-1}$

Cette inéquation ne peut se résoudre de manière algébrique.

Nous adopterons une méthode graphique en construisant la courbe $\mathscr{C}$ représentant la fonction f et la droite $\mathscr{D}$ représentant la fonction g .

Bac ES-L Obligatoire Remplacement Polynésie Française 2017 : image 14

L'entreprise réalise un bénéfice si la courbe $\mathscr{C}$ se situe en dessous de la droite $\mathscr{D}$ .
Si x ₁ et x ₂ sont les abscisses des points d'intersection entre $\mathscr{C}$ et $\mathscr{D}$ , alors l'ensemble des solutions de l'inéquation g (x ) > f (x ) est l'intervalle ]x ₁ ; x ₂ [.
La calculatrice nous donne les valeurs approchées suivantes : x ₁ environegal

1,509 et x ₂ environegal

4,818.

Par conséquent, les quantités à produire par jour afin d'assurer un bénéfice à l'entreprise sont comprises entre 1,51 et 4,81 centaines de coques, soit environ entre 151 et 481 coques par jour.

5 points

exercice 3

1. a) Algorithme complété

Variables :         N est un entier naturel
                                U est un nombre réel
Initialisation : U prend la valeur 50
Traitement :    Pour N allant de 1 à 24
                                         U prend la valeur 0,9   U
                               Fin Pour
Sortie :               Afficher U

b) (u _n) est une suite géométrique de raison 0,9 dont le premier terme est u₀ = 50.

Dès lors, pour tout entier naturel n , nous avons : $\boxed{u_n=50\times0,9^n}$

c) $u_{24}=50\times0,9^{24}$

$\Longrightarrow\boxed{u_{24}\approx3,988}$

2. Déterminons le plus petit entier naturel n tel que u_n < 0,01.

$u_n<0,01\Longleftrightarrow50\times0,9^n<0,01\\\\\phantom{u_n<0,01}\Longleftrightarrow0,9^n<\dfrac{0,01}{50}\\\\\phantom{u_n<0,01}\Longleftrightarrow0,9^n<0,0002\\\\\phantom{u_n<0,01}\Longleftrightarrow\ln(0,9^n)<\ln0,0002\\\\\phantom{u_n<0,01}\Longleftrightarrow n\times\ln0,9<\ln0,0002\\\\\phantom{u_n<0,01}\Longleftrightarrow n>\dfrac{\ln0,0002}{\ln0,9}\ \ \ (\text{car }\ln0,9<0)\\\\\text{Or }\ \ \ \dfrac{\ln0,0002}{\ln0,9}\approx80,838...$

Par conséquent, le plus petit entier naturel n tel que u _n < 0,01 est n = 81.

3. a) Algorithme 2 :
La valeur de S en sortie est 50 multiplie

0,9²⁴.
Cette valeur correspond à u₂₄ et non pas à S₂₄.
D'où cet algorithme ne répond pas à l'objectif recherché.

Algorithme 3 :
Testons la boucle pour N = 0.
La valeur initiale de S est S = 50.
Donc au premier passage de la boucle (N = 0), S prendra la valeur 50 + 50 multiplie

0,9⁰,
soit 50 + 50 multiplie

1 = 50 + 50 = 100.
Or pour N = 0, nous avons S₀ = u₀ = 50 et non pas 100.
D'où cet algorithme ne répond pas à l'objectif recherché.

Par conséquent, l'algorithme permettant de calculer la somme S₂₄ et de l'afficher est l'algorithme 1.

b) S₂₄ représente la somme des 25 premiers termes d'une suite géométrique dont le premier terme est S₀ = 50 et dont la raison est 0,9.

$\Longrightarrow S_{24}=50\times\dfrac{1-0,9^{25}}{1-0,9}\\\\\phantom{\Longrightarrow S_{24}}=50\times\dfrac{1-0,9^{25}}{0,1}\\\\\phantom{\Longrightarrow S_{24}}=500\times(1-0,9^{25})\\\\\phantom{\Longrightarrow S_{24}}\approx464$

Par conséquent, $S_{24}\approx464.$

4. a) Nous savons que $\lim\limits_{n\to+\infty}0,9^{n}=0\ \ \text{car }0<0,9<1.$

$\begin{array}{r @{ = } l} \Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}(500-450\times0,9^{n})\ &\ 500-450\times\lim\limits_{n\to+\infty}0,9^{n}\\&\ 500-450\times0\\&\ 500 \end{array}$

D'où $\lim\limits_{n\to+\infty}S_n=500$

b) La suite (S_n ) est croissante et converge vers 500.
Pour tout entier naturel n , nous savons alors que S_n < 500.

Par conséquent, S_n ne pourra jamais dépasser la valeur 500.

5 points

exercice 4

Partie A

1. La situation peut être traduite par l'arbre pondéré suivant :

Bac ES-L Obligatoire Remplacement Polynésie Française 2017 : image 11

2. Selon la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$p(D)=p(A\cap D)+p(B\cap D)\\\\\phantom{p(D)}=p_A(D)\times p(A)+p_B(D)\times p(B)\\\\\phantom{p(D)}=0,01\times0,8+0,06\times0,2\\\\\phantom{p(D)}=0,008+0,012\\\\\phantom{p(D)}=0,02\\\\\Longrightarrow\boxed{p(D)=0,02}$

3. Nous devons déterminer $p_D(B).$

$p_D(B)=\dfrac{p(B\cap D)}{p(D)}\\\\\phantom{p_D(B)}=\dfrac{p_B(D)\times p(B)}{p(D)}\\\\\phantom{p_D(B)}=\dfrac{0,06\times0,2}{0,02}\\\\\phantom{p_D(B)}=\dfrac{0,012}{0,02}\\\\\phantom{p_D(B)}=0,6$

Par conséquent, sachant qu'un étui est défectueux, la probabilité qu'il provienne du fournisseur B est égale à 0,6.

Partie B

1. Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique I₄₀₀ au seuil de 95 % de la fréquence des étuis défectueux dans un échantillon aléatoire de 400 étuis provenant du fournisseur B.

Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,

$\left\lbrace\begin{array}l n=400\ge30 \\ p=0,06\Longrightarrow np=400\times0,06=24>5 \\n(1-p)= 400\times(1-0,06)= 400\times0,94=376>5 \end{array}$

Donc un intervalle de fluctuation asymptotique I₄₀₀ au seuil de 95% est :

$I_{400}=\left[0,06-1,96\sqrt{\dfrac{0,06 (1-0,06)}{ 400}};0,06+1,96\sqrt{\dfrac{0,06 (1-0,06)}{ 400}}\right]\\\\\Longrightarrow I_{400}\approx[0,036;0,084]$

2. L'employé constate que 350 étuis ne sont pas défectueux.
Cela correspond à un constat que 50 étuis sont défectueux.

La fréquence observée des étuis défectueux est $f=\dfrac{50}{400}=0,125$

Nous remarquons que $f\notin I_{400}.$

Par conséquent, au risque de se tromper de 5%, il faut informer le fournisseur B d'un problème.

Partie C

1. Un étui est considéré comme conforme si son épaisseur est comprise entre 19,8 mm et 20,2 mm.
Le fournisseur B souhaite qu'au moins 95% des étuis produits soient conformes.

Dans ce cas, il faudrait avoir : $p(19,8\le X\le20,2)\ge0,95.$

Or si

= 20 et

= 0,2, à l'aide de la calculatrice, nous obtenons $p(19,8\le X\le20,2)\approx0,683$

Puisque 0,623 < 0,95, il faut revoir les réglages des machines.

2. Nous savons que si X est une variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance

et d'écart-type sigma

,
alors $\red{p(\mu-2\sigma\le X\le\mu+2\sigma)\approx0,95}.$
Or nous désirons obtenir $p(19,8\le X\le20,2)\approx0,95$ , soit $\red{p(\mu-0,2\le X\le\mu+0,2)\approx0,95}$

D'où $2\sigma=0,2\Longrightarrow\boxed{\sigma=0,1}$

Nous pouvons donc choisir un écart-type égal à 0,1.

Publié par malou/Panter le 29-04-2018

ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter

Merci à / pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche

Cette fiche

Voir l'énoncé seul
Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, Connectez vous
Forum de maths

forum de terminale
Plus de 147 161 topics de mathématiques en terminale sur le forum.