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Baccalauréat Mathématiques

ES-L Obligatoire

Remplacement Polynésie Française 2017

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Corrigé : Bac ES-L Obligatoire Remplacement Polynésie Française 2017

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5 points

exercice 1

Partie A


1.   Graphiquement, nous observons que l'ordonnée à l'origine de la droite (PR ) est égale à 2.

De plus le coefficient directeur de (PR) est égal à  \dfrac{y_R-y_P}{x_R-x_P}=\dfrac{6-3}{4-1}=\dfrac{3}{3}=1.

D'où la droite (PR ) admet pour équation : y  = x  + 2.

Par conséquent, la réponse correcte est la réponse \red{\boxed{\text{(b)}}} .

2.    Le point P (1 ; 3) appartient à la courbe \mathscr{C} implique f (1) = y P 
                                                                                                          implique f (1)=3.

 f' (1) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe \mathscr{C}  au point d'abscisse 1, soit le coefficient directeur de la droite (PR ).
Nous avons montré dans l'exercice 1-1. que ce coefficient directeur est égal à 1.
D'où f' (1) = 1.

3.   Nous observons que sur l'intervalle ]0 ; 10], la courbe \mathscr{C}  est en-dessous de toutes ses tangentes.
D'où la fonction f  est concave sur l'intervalle ]0 ; 10].

Par conséquent, la réponse correcte est la réponse \red{\boxed{\text{(b)}}}

4.   La fonction f  est continue et positive sur l'intervalle [1 ; 2].

\int\limits_1^2f(x)\,dx  représente alors l'aire de la surface comprise entre la courbe \mathscr{C} , l'axe des abscisses, les droites d'équations x  = 1 et x  = 2 (la surface est colorée en rouge sur la figure ce-jointe).

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Sur la figure, nous observons que cette surface est comprise entre le rectangle GPHM de dimension 1 multiplie 3 et le rectangle GJKM de dimension 1 multiplie 4.

Par conséquent, \boxed{3<\int\limits_1^2f(x)\,dx<4}

Partie B


f(x)=-x\ln x+2x+1

1. a)  Calcul de la dérivée f' (x ).

f'(x)=(-x\ln x)'+(2x)'+1'\\\\\phantom{f'(x)}=[(-x)'\times\ln x+(-x)\times(\ln x)']+2+0\\\\\phantom{f'(x)}=[(-1)\times\ln x+(-x)\times(\dfrac{1}{x})]+2\\\\\phantom{f'(x)}=-\ln x-1+2\\\\\phantom{f'(x)}=-\ln x+1\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=-\ln x+1}


b)  Etude du signe de f' (x ) et variations de la fonction f  sur l'intervale ]0 ; 10].

\begin{array}l {\red{f'(x)=0}}\Longleftrightarrow-\ln x+1=0\\\phantom{f'(x)=0}\Longleftrightarrow\ln x=1\\\phantom{f'(x)=0}\Longleftrightarrow x=e^1\\\phantom{f'(x)=0}\Longleftrightarrow\red{x=e}\end{array}\begin{array}l |\\|\\|\\|\end{array}\begin{array}l {\red{f'(x)>0}}\Longleftrightarrow-\ln x+1>0\\\phantom{f'(x)=0}\Longleftrightarrow\ln x<1\\\phantom{f'(x)=0}\Longleftrightarrow x<e^1\\\phantom{f'(x)=0}\Longleftrightarrow {\red{x<e}}\end{array}\begin{array}l |\\|\\|\\|\end{array}\begin{array}l {\red{f'(x)<0}}\Longleftrightarrow-\ln x+1<0\\\phantom{f'(x)=0}\Longleftrightarrow\ln x>1\\\phantom{f'(x)=0}\Longleftrightarrow x>e^1\\\phantom{f'(x)=0}\Longleftrightarrow{\red{ x>e}}\end{array}

\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&e&&10\\\hline f'(x)&||&+&0&-&\\\hline &||&&f(e)&& \\ f(x)&||&\nearrow&&\searrow& \\ &||&&{\red{\text{max}}}&&f(10) \\ \hline \end{array}

Ce tableau nous montre que la fonction f  admet un maximum pour x  = e.

c)  Calculons la valeur de ce maximum.

f(e)=-e\ln e+2e + 1\\\phantom{f(e)}=-e\times1+2e + 1\\\phantom{f(e)}=-e+2e + 1\\\phantom{f(e)}=e + 1

Par conséquent, la valeur exacte du maximum de la fonction f  sur l'intervalle ]0 ; 10] est \boxed{e + 1}.

2.   Nous allons montrer que la fonction f  est concave sur l'intervalle ]0 ; 10] en montrant que la dérivée seconde est négative sur ]0 ; 10].

f''(x)=[f'(x)]'\\\\\phantom{f''(x)}=[-\ln x+1]'\\\\\phantom{f''(x)}=(-\ln x)'+1'\\\\\phantom{f''(x)}=-\dfrac{1}{x}+0\\\\\phantom{f''(x)}=-\dfrac{1}{x}\\\\\Longrightarrow\boxed{f''(x)=-\dfrac{1}{x}<0\ \ \ \ (\text{car  }x > 0)}

Puisque la dérivée seconde est négative sur ]0 ; 10], la fonction f  est concave sur cet intervalle.

Par conséquent, la courbe \mathscr{C}  est entièrement située en-dessous de chacune de ses tangentes sur
l'intervalle ]0 ; 10].


3.   La fonction F  définie par F( x)=-\dfrac{x^2}{2}\ln x+\dfrac{5}{4}x^2+x-7  est une primitive de f  sur ]0 ; 10].

\text{Donc   }\int\limits_1^2f(x)\,dx=\left[F( x)\right]\limits_1^2\\\phantom{\int\limits_1^2f(x)\,dx}=F(2)-F(1)\\\phantom{\int\limits_1^2f(x)\,dx}=(-\dfrac{2^2}{2}\ln 2+\dfrac{5}{4}\times2^2+2-7)-(-\dfrac{1^2}{2}\ln 1+\dfrac{5}{4}\times1^2+1-7)\\\phantom{\int\limits_1^2f(x)\,dx}=(-2\ln 2+5+2-7)-(-1\times0+\dfrac{5}{4}+1-7)\\\phantom{\int\limits_1^2f(x)\,dx}=-2\ln2-(-\dfrac{19}{4})\\\phantom{\int\limits_1^2f(x)\,dx}=-2\ln2+\dfrac{19}{4}\\\\\Longrightarrow\boxed{\int\limits_1^2f(x)\,dx=\dfrac{19}{4}-2\ln2}

5 points

exercice 2

f(x)=4e^{-0,5x+1}+x-1

Partie A


 \text{\red{1.  }}{f'(x)=4\times(-0,5x+1)'\times e^{-0,5x+1}+x'-1'}\\\\\phantom{ \text{\red{1.  }}f'(x)}=4\times(-0,5)\times e^{-0,5x+1}+1-0\\\\\phantom{ \text{\red{1.  }}f'(x)}=-2\times e^{-0,5x+1}+1\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=-2e^{-0,5x+1}+1}

2. a)   Résolvons dans l'intervalle [1 ; 10] l'équation f' (x ) = 0.

\boxed{f'(x)=0}\Longleftrightarrow -2 e^{-0,5x+1}+1=0 \\\\\phantom{\boxed{f'(x)=0}} \Longleftrightarrow  2e^{-0,5x+1}=1\\\\\phantom{\boxed{f'(x)=0}} \Longleftrightarrow  e^{-0,5x+1}=\dfrac{1}{2}\\\\\phantom{\boxed{f'(x)=0}} \Longleftrightarrow  -0,5x+1=\ln \dfrac{1}{2} \\\\\phantom{\boxed{f'(x)=0}} \Longleftrightarrow  -\dfrac{1}{2}x+1=-\ln 2\\\\\phantom{\boxed{f'(x)=0}} \Longleftrightarrow  -\dfrac{1}{2}x=-1-\ln 2\\\\\phantom{\boxed{f'(x)=0}} \Longleftrightarrow  \dfrac{1}{2}x=1+\ln 2\\\\\phantom{\boxed{f'(x)=0}} \Longleftrightarrow \boxed{x=2+2\ln 2}

Par conséquent, sur l'intervalle [1 ; 10], l'équation f' (x ) = 0 admet pour unique solution le nombre alpha = 2 + 2ln2.

b.   Représentation du point de la courbe \mathscr{C}  d'abscisse alpha.

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3.   Selon l'énoncé, nous admettons que l'ensemble des solutions sur l'intervalle [1 ; 10] de l'inéquation f' (x ) supegal  0 est [2 + 2ln2 ; 10].

Nous obtenons ainsi le tableau de variations de la fonction f  :

\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&1&&2+2\ln2&&10\\\hline f'(x)&&-&0&+&\\\hline &4e^{0,5}&&&&4e^{-4}+9 \\ f(x)&&\searrow&&\nearrow& \\ &&&3+2\ln2&& \\ \hline \end{array}\\\\\text{Remarque : }\ f(1)=4e^{-0,5\times1+1}+1-1=4e^{0,5}\\\phantom{\text{Remarque : }\ }f(2+2\ln2)=4e^{-0,5\times(2+2\ln2)+1}+2+2\ln2-1\\\phantom{\text{Remarque : }\ f(2+2\ln2)}=4e^{-1-\ln2+1}+1+2\ln2\\\phantom{\text{Remarque : }\ f(2+2\ln2)}=4e^{-\ln2}+1+2\ln2\\\phantom{\text{Remarque : }\ f(2+2\ln2)}=\dfrac{4}{e^{\ln2}}+1+2\ln2\\\\\phantom{\text{Remarque : }\ f(2+2\ln2)}=\dfrac{4}{2}+1+2\ln2\\\\\phantom{\text{Remarque : }\ f(2+2\ln2)}=3+2\ln2\\\\\phantom{\text{Remarque : }\ }f(10)=4e^{-0,5\times10+1}+10-1=4e^{-4}+9

Partie B


1.   Puisque x  désigne le nombre de centaines de coques, nous devons calculer f (5).

f(5)=4e^{-0,5\times5+1}+5-1\\\phantom{f(5)}=4e^{-1,5}+4\\\phantom{f(5)}\approx4,89

Par conséquent, le coût de production d'une coque dans le cas de la fabrication de 500 coques par jour s'élève à environ 4,89 euros.

2. a)   A partir du tableau de variations de f  établi à la troisième question de la partie A, nous pouvons déduire que f  admet un minimum pour x  = 2 + 2ln2 environegal 3,39.

Par conséquent, l'entreprise minimisera le coût unitaire de production en produisant 339 coques par jour.

b)   Ce tableau de variations de f  montre également que ce minimum est égal à 3 + 2ln2 environegal 4,39.

Par conséquent, le coût minimal de production d'une coque est d'environ 4,39 euros.

Partie C


L'entreprise réalisera un bénéfice si le prix de vente d'une coque est supérieur à son coût de production, soit si g (x ) > f (x ).
Pour estimer les quantités de coques à produire par jour afin d'assurer un bénéfice, nous devons résoudre cette inéquation.

g(x)>f(x)\Longleftrightarrow\boxed{-\dfrac{1}{4}x+6>4e^{-0,5x+1}+x-1}

Cette inéquation ne peut se résoudre de manière algébrique.

Nous adopterons une méthode graphique en construisant la courbe \mathscr{C}  représentant la fonction f  et la droite \mathscr{D}  représentant la fonction g .

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L'entreprise réalise un bénéfice si la courbe \mathscr{C}  se situe en dessous de la droite \mathscr{D} .
Si x 1 et x 2  sont les abscisses des points d'intersection entre \mathscr{C}  et \mathscr{D} , alors l'ensemble des solutions de l'inéquation g (x ) > f (x ) est l'intervalle ]x 1 ; x 2 [.
La calculatrice nous donne les valeurs approchées suivantes : x 1 environegal 1,509 et x 2 environegal  4,818.

Par conséquent, les quantités à produire par jour afin d'assurer un bénéfice à l'entreprise sont comprises entre 1,51 et 4,81 centaines de coques, soit environ entre 151 et 481 coques par jour.

5 points

exercice 3

1. a)  Algorithme complété

Variables :         N  est un entier naturel
                                U  est un nombre réel
Initialisation : U  prend la valeur 50
Traitement :    Pour N  allant de 1 à 24
                                         U  prend la valeur 0,9 multiplie  U
                               Fin Pour
Sortie :               Afficher U 

b)   (u n ) est une suite géométrique de raison 0,9 dont le premier terme est u0  = 50.

Dès lors, pour tout entier naturel n , nous avons : \boxed{u_n=50\times0,9^n}

c)   u_{24}=50\times0,9^{24}

\Longrightarrow\boxed{u_{24}\approx3,988}

2.   Déterminons le plus petit entier naturel n  tel que un   < 0,01.

u_n<0,01\Longleftrightarrow50\times0,9^n<0,01\\\\\phantom{u_n<0,01}\Longleftrightarrow0,9^n<\dfrac{0,01}{50}\\\\\phantom{u_n<0,01}\Longleftrightarrow0,9^n<0,0002\\\\\phantom{u_n<0,01}\Longleftrightarrow\ln(0,9^n)<\ln0,0002\\\\\phantom{u_n<0,01}\Longleftrightarrow n\times\ln0,9<\ln0,0002\\\\\phantom{u_n<0,01}\Longleftrightarrow n>\dfrac{\ln0,0002}{\ln0,9}\ \ \ (\text{car  }\ln0,9<0)\\\\\text{Or  }\ \ \ \dfrac{\ln0,0002}{\ln0,9}\approx80,838...

Par conséquent, le plus petit entier naturel n  tel que u n   < 0,01 est n  = 81.

3. a)   Algorithme 2 :
La valeur de S en sortie est 50 multiplie 0,924.
Cette valeur correspond à u24  et non pas à S24.
D'où cet algorithme ne répond pas à l'objectif recherché.

Algorithme 3 :
Testons la boucle pour N = 0.
La valeur initiale de S est S = 50.
Donc au premier passage de la boucle (N = 0), S prendra la valeur 50 + 50 multiplie 0,90,
soit 50 + 50 multiplie 1 = 50 + 50 = 100.
Or pour N = 0, nous avons S0 = u0 = 50 et non pas 100.
D'où cet algorithme ne répond pas à l'objectif recherché.

Par conséquent, l'algorithme permettant de calculer la somme S24 et de l'afficher est l'algorithme 1.

b)   S24 représente la somme des 25 premiers termes d'une suite géométrique dont le premier terme est S0  = 50 et dont la raison est 0,9.

\Longrightarrow S_{24}=50\times\dfrac{1-0,9^{25}}{1-0,9}\\\\\phantom{\Longrightarrow S_{24}}=50\times\dfrac{1-0,9^{25}}{0,1}\\\\\phantom{\Longrightarrow S_{24}}=500\times(1-0,9^{25})\\\\\phantom{\Longrightarrow S_{24}}\approx464

Par conséquent,  S_{24}\approx464.

4. a)   Nous savons que \lim\limits_{n\to+\infty}0,9^{n}=0\ \ \text{car }0<0,9<1.

\begin{array}{r @{ = } l} \Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}(500-450\times0,9^{n})\ &\ 500-450\times\lim\limits_{n\to+\infty}0,9^{n}\\&\ 500-450\times0\\&\ 500 \end{array}

D'où \lim\limits_{n\to+\infty}S_n=500

b)   La suite (Sn ) est croissante et converge vers 500.
Pour tout entier naturel n , nous savons alors que Sn  < 500.

Par conséquent, Sn  ne pourra jamais dépasser la valeur 500.

5 points

exercice 4

Partie A


1.   La situation peut être traduite par l'arbre pondéré suivant :

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2.   Selon la formule des probabilités totales, nous obtenons :

p(D)=p(A\cap D)+p(B\cap D)\\\\\phantom{p(D)}=p_A(D)\times p(A)+p_B(D)\times p(B)\\\\\phantom{p(D)}=0,01\times0,8+0,06\times0,2\\\\\phantom{p(D)}=0,008+0,012\\\\\phantom{p(D)}=0,02\\\\\Longrightarrow\boxed{p(D)=0,02}

3.   Nous devons déterminer  p_D(B).

p_D(B)=\dfrac{p(B\cap D)}{p(D)}\\\\\phantom{p_D(B)}=\dfrac{p_B(D)\times p(B)}{p(D)}\\\\\phantom{p_D(B)}=\dfrac{0,06\times0,2}{0,02}\\\\\phantom{p_D(B)}=\dfrac{0,012}{0,02}\\\\\phantom{p_D(B)}=0,6

Par conséquent, sachant qu'un étui est défectueux, la probabilité qu'il provienne du fournisseur B est égale à 0,6.

Partie B


1.   Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique I400  au seuil de 95 % de la fréquence des étuis défectueux dans un échantillon aléatoire de 400 étuis provenant du fournisseur B.

Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,

\left\lbrace\begin{array}l n=400\ge30 \\ p=0,06\Longrightarrow np=400\times0,06=24>5 \\n(1-p)= 400\times(1-0,06)= 400\times0,94=376>5 \end{array}

Donc un intervalle de fluctuation asymptotique I400  au seuil de 95% est :

 I_{400}=\left[0,06-1,96\sqrt{\dfrac{0,06 (1-0,06)}{ 400}};0,06+1,96\sqrt{\dfrac{0,06 (1-0,06)}{ 400}}\right]\\\\\Longrightarrow I_{400}\approx[0,036;0,084]

2.   L'employé constate que 350 étuis ne sont pas défectueux.
Cela correspond à un constat que 50 étuis sont défectueux.

La fréquence observée des étuis défectueux est  f=\dfrac{50}{400}=0,125

Nous remarquons que  f\notin I_{400}.

Par conséquent, au risque de se tromper de 5%, il faut informer le fournisseur B d'un problème.

Partie C


1.   Un étui est considéré comme conforme si son épaisseur est comprise entre 19,8 mm et 20,2 mm.
Le fournisseur B souhaite qu'au moins 95% des étuis produits soient conformes.

Dans ce cas, il faudrait avoir :  p(19,8\le X\le20,2)\ge0,95.

Or si mu  = 20 et sigma  = 0,2, à l'aide de la calculatrice, nous obtenons  p(19,8\le X\le20,2)\approx0,683

Puisque 0,623 < 0,95, il faut revoir les réglages des machines.

2.   Nous savons que si X  est une variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance mu  et d'écart-type sigma,
alors  \red{p(\mu-2\sigma\le X\le\mu+2\sigma)\approx0,95}.
Or nous désirons obtenir  p(19,8\le X\le20,2)\approx0,95, soit  \red{p(\mu-0,2\le X\le\mu+0,2)\approx0,95}

D'où  2\sigma=0,2\Longrightarrow\boxed{\sigma=0,1}

Nous pouvons donc choisir un écart-type égal à 0,1.
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