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1ere ES Dérivation
Bonjour,
J'ai un DM pour jeudi mais je n'arrive pas à résoudre la 2eme question
d'un exercice.
Voici la question: Une entreprise fabrique une quantité q d'un certain
produit, q est exprimé en tonnes et varie de 0 à 20. Le cout total
de production est, en milliers d'euros : C(q)=q^3-30q²+300q.
2.La production est vendue intégralement au prix de 84000 euros l'unité.
La recette totale, en milliers d'euros est donc r(q)=84q.
a) Etudiez le signe de la fonction : b(q)=r(q)-C(q)
Interpretez le résultat en termes de bénéfice.
b) Pour quelle valeur q0 de q le bénéfice est-il maximal?
Vous donnerez une valeur approchée de q0 à 0.1 près.
Merci de m'aider à résoudre cette question que je trouve assez complexe.
Amandine.
Bonjour,
Il suffit de dériver b(q)=-q^3+30q^2-216q ==> b'(q)=-3q^2+60q-216
et de résoudre b'(q)=0.
En première question, tu as déjà montré que la fonction possédait un
maximum.
Ensuite c'est un trinôme à résoudre dont une solution est positive et
l'autre non... à toi de choisir la bonne... 
Bonjour Amandine 
- Question 2 - a) -
b(q) = r(q) - C(q)
= 84q - q3 + 30q² - 300q
= -q3 + 30q² - 216q
= -q(q² - 30q + 216)
-q est toujours négatif sur [0; 20]
q² - 30q + 216 = 0
= 36
q = 12 ou q = 18
q² - 30q + 216 est positif à l'extérieur des racines.
Donc :
b(q) 
0
si q
[12; 18]
et
b(q) 
0
si q[0; 12]
[18; 20]
- Question 2 - b) -
On étudie les variations de la fonction b :
b(q) = = -q3 + 30q² - 216q
b est dérivable sur [0; 20] et :
b'(q) = -3q² + 60q - 216
b'(q) = 0
équivaut à :
-3q² + 60q - 216 = 0
= 1008
q1 = (-60 + 12
7)/(-6)
= 10 - 27
et
q2 = -(60 + 127)/(-6)
= 10 + 27
b' est positif à l'extérieur de ses racines.
Donc :
b est croissante sur [q1; q2]
et
décroisante
sur [0; q1][q2; 20]
Le bénéfice est donc maximal pour q = q2
15,3
A toi de tout reprendre, bon courage ...
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