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1ère - Spé Maths : Nombre dérivé - Propagation d’une épidémie
Bonjour. Voici mon DM.
Propagation d'une épidémie
Une population est confrontée à une épidémie pendant plusieurs mois. Le nombre de personnes malades, en millier, est modélisé par une fonction f définie sur [0;8] et dont on donne la représentation graphique.
(Cf graphique)
La droite passant par les points A(2 ; 96) et B (4 ; 208) est tangente à la courbe au point A.
On admet que le nombre dérive f' (t), pour tout t ∈ [0 ; 8], représente la vitesse de propagation de l'épidémie au bout de t mois.
Partie A. Lecture graphique
1. Les autorités sanitaires déclenchent une alerte d'information lorsque le nombre de malades dépasse 40 000 et lève son alerte lorsqu'il repasse en dessous de 40 000. Quelle est la durée de l'alerte ?
2. déterminer les variations de f sur [0 ; 8].
3. Au bout de combien de semaines le nombre de malades est-il maximal ? Combien y aura-t-il alors de personnes malades ?
4. déterminer le nombre dérivé f' (2). Interpréter.
Partie B. Étude approfondie de l'épidémie
On admet que la fonction représentée ci-dessus est définie par f(t)=-2t^3 + 12t^2 + 32t, avec t ∈ [0 ; 8].
1.a. Résoudre dans [0 ; 8], l'équation f(t) = 0.
1.b. Interpréter les résultats.
2. À l'aide d'un logiciel de calcul formelle, on a calculer la valeur de f'(t) pour tout réel t ∈ [0 ; 8].
| 1 | f(t):= -2t^3 + 12t^2 +32t |
| 2 | f'(t)
-> -6t^2 + 24 t + 32 |
2.a. Déterminer le nombre de semaines au bout desquelles la vitesse de propagation semble maximale.
2.b. Au bout de combien de semaines semble-t-elle minimale ? Quel est alors la vitesse minimal de propagation ?
2.c. Sur quelle période peut-on dire que la propagation de la maladie est en augmentation, ralentie et régresse ? Justifier. Au bout de combien de mois peut-on parler d'inflexion de la vitesse de propagation.
Bonjour,
Je vois que tu es nouveau, bienvenue sur l'
Sujet ancien- ne plus donner ce lien-merci (Clique sur ce lien).
Prends le temps de lire ce sujet, en particulier le point 4., et complète ta demande en répondant à ton propre message et en respectant désormais les règles du site. Quelqu'un va te venir en aide.
Partie A.
1. L'alerte d'information se déclenche lorsque le nombre de malades dépasse 40 000, ce qui correspond à un mois. Elle est en marche sur l'intervalle [1 ; 7,75] donc sur une période de 7,75-1 = 6,75 mois.
La durée de l'alerte est de 6,75 mois.
2. La fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; 5] et décroissante sur l'intervalle [5 ; 8 ].
3. Le nombre maximal de malades est atteint en 𝑥 = 5 et f(5)=210.
1 mois = 4 semaines
Donc 5 mois = 5 x 4 = 20 semaines
Le nombre maximal de malade est de 210 000 et il est atteint à 20 semaines.
4. f'(2) = (yB-yA)/(𝑥B-𝑥A) = (208-96)/(4-2) = 112/2 = 56
f'(2) = 56
Au bout de deux mois, la vitesse de propagation est de 56.
Partie B.
1.a. f(t) = 0
f(t) = - 2t3+ 12t2+ 32t = 0
f(t) = t (-2t2+ 12t + 32) = 0
a = -2 ; b = 12 ; c = 32
∆ = b2 - 4ac = 122 - 4 x (-2) x 32 = 400
𝑥1 = (-b - √ ∆)/(2a) = (-12 - √400)/(2 x (-2)) = (-32)/(-4) = 8
𝑥2 = (-b + √ ∆)/(2a) = (-12 + √400)/(2 x (-2)) = (8)/(-4) = - 2
Or t ∈ [ 0 ; 8 ]
Donc on utilise 𝑥1 = 8
1.b. On constate qu'il n'y a aucun malade au bout de 8 mois.
Excusez-moi je voulais utiliser les options pour mettre x en exposant ou non lorsqu'on fait un post. Je ne voulais pas poster. De rien pour ceux qui en avait besoin.
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