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1ereS exercice sur barycentres
Bonsoir
Voilà le probleme :
Dans l'espace on considere le point Mk barycentre des points ponderés
(A,-2), (B,2+k) et (C,2-k), k étant un nombre reel
Justifier l'existence de Mk. Alors pour ça il suffit de dire que quel
que soit k, -2+2+k +2-k=2 donc different de 0 donc Mk existe.
C'est ici que je n'arrive plus: Quel est le lieu du point Mk lorsque
k decrit IR (On pourra introduire le barycentre des points ponderés
(A,-2), (B,2) et (C,2))
Normalement pour ces points k=0 et -2GA+2GB+2GC=0 avec G ce barycentre
Mais je ne sais plus quoi faire maintenant.
Ensuite: quel remarque pouvait vous faire lorsque A,B et C sont alignés?
Merci d'avance à tous ceux qui pourront m'apporter leur aide
bonjour.
permettez moi de vous répondre.
Mk est le barycentre des points ponderés(A,-2), (B,2+k)
et (C,2-k), k étant un nombre reel
donc qq soit M point du plan vous pouvez écrire:
(-2+2+k+2-k)MMk=-2MA+(2+k)MB+(2-k)MC
donc :
2MMk=-2MA+2MB+2MC +k(MB-MC)
2MMk=-2MA+2MB+2MC +kCB
soit maintenant G barycentre des points ponderés
(A,-2), (B,2) et (C,2))
alors 2MG=-2MA+2MB+2MC
on obtient alors:
2MMk=-2MA+2MB+2MC +kCB
=2MG+kBC
2MMk-2MG=kBC
2GMk=kBC
GMk=(k/2)BC
donc Mk appartient à la droite qui passe par G et de direction BC.
c'est le lieu des Mk lorsque k décrit R.
Supposons maintenant que A,B et C sont alignés.
comme on a:
qq soit M élément du plan: 2MG=-2MA+2MB+2MC
en particulier si M=C
alors 2CG=-2CA+2CB
=2(AC+CB)
=2AB
donc CG=AB
donc G est aussi aligné avec A,B et C
comme:GMk=(k/2)BC
donc les points A,B,C,G et Mk sont alignés.
le lieu des points Mk est la droite (A,BC).
voila bon courage
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