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Niveau première
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1ereS exercice sur barycentres

Posté par (invité) 22-01-04 à 22:15


Bonsoir
Voilà le probleme :
Dans l'espace on considere le point Mk barycentre des points ponderés
(A,-2), (B,2+k) et (C,2-k), k étant un nombre reel
Justifier l'existence de Mk. Alors pour ça il suffit de dire que quel
que soit k, -2+2+k +2-k=2 donc different de 0 donc Mk existe.
C'est ici que je n'arrive plus: Quel est le lieu du point Mk lorsque
k decrit IR (On pourra introduire le barycentre des points ponderés
(A,-2), (B,2) et (C,2))
Normalement pour ces points k=0 et -2GA+2GB+2GC=0 avec G ce barycentre
Mais je ne sais plus quoi faire maintenant.
Ensuite: quel remarque pouvait vous faire lorsque A,B et C sont alignés?

Merci d'avance à tous ceux qui pourront m'apporter leur aide

Posté par
watik
re : 1ereS exercice sur barycentres 23-01-04 à 10:33

bonjour.

permettez moi de vous répondre.

Mk est le barycentre des points ponderés(A,-2), (B,2+k)
et (C,2-k), k étant un nombre reel  

donc qq soit M point du plan vous pouvez écrire:

(-2+2+k+2-k)MMk=-2MA+(2+k)MB+(2-k)MC

donc :

2MMk=-2MA+2MB+2MC +k(MB-MC)

2MMk=-2MA+2MB+2MC +kCB

soit maintenant G barycentre des points ponderés
(A,-2), (B,2) et (C,2))  

alors 2MG=-2MA+2MB+2MC

on obtient alors:
2MMk=-2MA+2MB+2MC +kCB
         =2MG+kBC
2MMk-2MG=kBC

2GMk=kBC

GMk=(k/2)BC

donc Mk appartient à la droite qui passe par G et de direction BC.

c'est le lieu des Mk lorsque k décrit R.

Supposons maintenant que A,B et C sont alignés.

comme on a:

qq soit M élément du plan: 2MG=-2MA+2MB+2MC

en particulier si M=C
alors 2CG=-2CA+2CB
                =2(AC+CB)
                =2AB
donc CG=AB

donc G est aussi aligné avec A,B et C

comme:GMk=(k/2)BC

donc les points A,B,C,G et Mk sont alignés.

le lieu des points Mk est la droite (A,BC).

voila bon courage




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