Bonjour,

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Le minimum minimorum pour la question 1) : les deux cercles ont même rayon.


J'ai supposé qu'il fallait blanquer

Bonjour lake
"les deux cercles ont même rayon". pourquoi ?

(on blanque ou pas, c'est comme on veut)

de plus je ne suis pas d'accord avec la conclusion !

comme tu as blanqué, je blanque aussi :

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soit Q le symétrique de O par rapport à (II' )
on a
et cocycliques donc

Oui, une erreur, tu as raison mathafou.

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2)a) Avec 1) on a en angles de droites :

  

La dernière égalité est obtenue avec le triangle médial directement semblable à
cocycliques.

Bonjour,
je réponds à la question 2b, elle n'utilise que la définition de l'othocentre (intersection des hauteurs) :

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La droite (AB) a pour vecteur directeur donc le vecteur est orthogonal à la hauteur issue de C qui a donc pour équation .
On en déduit les coordonnées de l'orthocentre H :
d'où puis .
H est bien sur l'hyperbole.

oui, en ajoutant les définitions de tout ça ;

sans perte de généralité on peut supposer que l'hyperbole a pour équation xy = 1
et les points A (a; 1/a), B (b; 1/b) et C(c; 1/c)

ce calcul s'avère finalement le plus direct !
mais n'a aucun rapport avec ce que suggère l'énoncé par "en déduire".
il aurait donc dû être

2a) en déduire que O est sur le cercle d'Euler
2b) justifier (indépendamment, et pas "en déduire") que H est sur l'hyperbole

Bonjour,
Une solution possible pour 2)b) et le "en déduire" :

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Soit le symétrique de par rapport à . est un diamètre de l'hyperbole.
Le cercle est l'homothétique du cercle d'Euler dans l'homothétie .
Le cercle passe par (le symétrique de par rapport à appartient au cercle circonscrit et les cercles et sont symétriques par rapport à )
Les cercles , et ont même rayon et en particulier et sont deux cercles symétriques par rapport à
On en déduit :



On conclut que appartient à l'hyperbole avec ce théorème du LH :

  L'hyperbole équilatère de diamètre passant par est le lieu des points tels que

joli !

"le théorème du LH" ? du Lebossé-Hémery ?
en fait c'est une sorte de réciproque de la question 1.
(d'où le fait que c'est bien "en déduire")

Oui, le Lebossé & Hémery; voici la page en question :

En fait, j'avais trouvé ton énoncé dans le tome Géométrie/mécanique du cours Maillard Girard et Lentin (n°747 page 400 dans mon édition de 1964).
Mais rien de bien concluant dans le cours correspondant.

même source (Maillard)

je n'ai hélas pas le LH qui est tout de même une référence en la matière.

Au sujet du LH, je peux peut-être te venir en aide.
Si (et seulement si !)tu es intéressé, mon adresse mail est dans mon profil

Je viens de faire une "découverte" en feuilletant le LH. (voir l'exercice 649...)

Vu,

comme ce sont des propriétés "classiques" il est logique que ça apparaisse dans diverses sources, sous des formes seulement légèrement différentes.

Bonjour,
Autre solution où la réciproque du 1) est utilisée sans théorèmes du LH (peut-être plus adaptée au Maillard) :



En angles orientés de droites donc modulo :

  (angles de droites perpendiculaires).

(application du 1) où et sont confondus).

(les points et d'une part, et d'autre part sont diamétralement opposés sur le cercle d'Euler)

On a donc qui prouve que appartient à l'hyperbole avec la réciproque du 1).

La troisième égalité est immédiate avec Chasles et une somme nulle d'angles orientés modulo :




Dans tous les cas de figure,

Bonjour,

c'est très certainement du genre de ce qui était attendu dans le Maillard
de même la question1 se résout avec juste Chasles sans faire intervenir tes "cercles égaux" mais les triangles isocèles formés par la médiane d'un triangle rectangle.



je n'ai pas réussi à extraire le LaTeX de Geogebra pour le coller ici : il me dit erreur de LaTeX
même en refabriquant de toute pièce la même formule dans l'éditeur de l'ile, apparemment le \begin{align*} ne lui convient pas du tout

Oui, le du forum est "limité".  L'environnement {align} ne passe pas.
Un fil qui date presque de 10 ans où il n'était question que du de la zone contribution un peu plus élaboré que celui du forum : Le LaTeX de la zone de contribution.
Je n'y connais pas grand chose mais j'avais retenu que les choses sont extrêmement compliquées.

Pour notre hyperbole équilatère, j'étais convaincu que le premier jet pour 2)b) (avec le théorème du LH) n'était pas ce qui était attendu par le Maillard. J'ai mis "un certain temps" pour pondre 14h41.
En temps limité j'aurais été archi cuit ...

salut,
je ne sais si ce code peut vous être utile

\begin {aligned}  
\int_0^1\dfrac{x}{x+1}\;\mathrm {d}x &= \int_0^1\dfrac{x+1-1}{x+1}\;\mathrm {d}x
&= \int_0^1 1\;\mathrm {d}x-\int_0^1\dfrac{1}{x+1}\;\mathrm {d}x 
&=\left[x\right]_0^1-\left[\ln(x+1)\right]_0^1
&=1-\ln2
\end {aligned}

pourquoi pas...
la doc latex (le celèbre "lshort") dit begin{align)
l'éditeur LaTeX de l'ile dit begin{align*}

peut être faudrait il modifier l'éditeur pour que ce qu'il génère soit accepté par le moteur de l'ile !! (aligned)
au lieu de savoir qu'il faut modifier à la main le code qu'il génère.