Donc le volume du cylindre est donné par V= pi r^2h

En utilisant le theorème de phythagore on peut établir que h = Racine( 8r - r^2)

ainsi h= Racine (8*4-4^2 ) = Racine(32-16) = Rac16 = 4

donc quand h=4 le volume max est atteint

c'est bien ça ?

Comment faites-vous pour vous débarrasser de   ?

j'ai utiliser la relation du theoreme de pythagore pour enlever r de l'équation

O le centre du cercle
le centre de la sphère

on a donc

On en déduit   et on le reporte dans le volume du cylindre

On a donc une fonction en h que l'on va étudier  

j'imagine qu'après on résout l'équation pour obtenir r en fonction de h
r^2 =16 - h^2/4
           pi * Racine(16 - h^2/4) h
           pi * Racine(16h -h^3/4)

Pour quelle valeur de , cette fonction admet-elle un maximum ?

Qu'avez-vous effectué ?

Je dois trouver la dérivée de V(h) ?

Non, puisque est un réel, sa dérivée est nulle.

C'est celle de qu'il faut étudier

je suis pas sure :

16 - h^2/ 2 = 0
ça donne h^2 =32
h = Racine(32) ou h= -Racine(32)

Comment dérivez-vous ?

ah mince je pensais qu'il ne fallait pas dérivé

après je suppose que je dois trouver les valeurs critiques
16pi h - pi * h^3/4 = 0
?

Si c'était juste une question de rigueur. On dérive une fonction, pas un réel.    On va chercher le maximum parmi les points où la dérivée s'annule.

Pour quelles valeurs de ?

on isole h puis
16 pi - 3pi h^2/4 = 0
h^2= 64/3
en prenant la racine carrée des deux côtés on a
h= Racine(64/3) = h= 8 Racine(3) / 3

Si le volume du cylindre admet un maximum, ce sera pour  . Il reste à vérifier qu'en ce point l'expression change de signe

La dérivée seconde de (16/pi) par rapport à (h) est (0) parce que c'est une constante

et donc la dérivée seconde par rapport à h est
-3pi h/ 2

- 3pi (8 racine(3) / 3) / 2

= 3 pi * 8 racine(3)/6

= - 4pi racine(3)

Quel intérêt ? le plus intéressant est le signe .

un trinôme du second degré est du signe de a sauf entre les racines quand elle existe.
Par conséquent, en  

change de signe.  étant positf avant et négatif

ensuite admet un maximum en ce point.

ah oui c'est vrai que je pouvais juste procéder comme ça

et ce que ça serait possible de faire un recap parce que je suis un peu perdue entre les mauvaises réponses et les bonnes

Il reste peut-être une vérification. Est-ce que le cylindre rentre dans la sphère ?

Faites une proposition, cela permettra de bien voir si vous avez compris

Non puisque
le rayon de la sphère est de 4cm
pour le cylindre la hauteur maximale est de
8racine(3)/3 = 4,62

Le diamètre du cylindre est 2r = 2*8racine(3)/ 3 = 9,24 cm

comparé au diamètre de la sphère
2*4 = 8cm
le diamètre du cylindre ne peut pas rentrer dans la sphère

Il doit y avoir quelques erreurs

ah oui en effet pas mal d'erreur :|

Résumé

formule du volume du cylindre  

relation entre r et h

expression du volume  en fonction de seulement

étude de la fonction volume :  dérivée nulle en changeant de signe

conclusion

Merci beaucoup !

De rien

Si vous avez des hésitations pour rédiger, n'hésitez pas.