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4. Arithmétique et calcul modulaire

Posté par
ivolavo27
31-05-19 à 10:20

Bonjour a tous!

J'ai du mal à comprendre comment résoudre cet exercice. Pourriez-vous s'il vous plaît me donner quelques conseils?

Trouver α, β ∈ Z tels que 32α + 35β = 1

Merci par avance!

Posté par
carpediem
re : 4. Arithmétique et calcul modulaire 31-05-19 à 10:50

salut

que peux-tu dire des nombres 32 et 35 ?

tu dois avoir une méthode dans ton cours ?
que dit-elle ?

32a + 35b = 1 <=> 32(a + b) + 3b = 1

on remarque que b = 11 et a + b = -1 conviennent

Posté par
ivolavo27
re : 4. Arithmétique et calcul modulaire 31-05-19 à 10:59

Bonjour carpediem,

Merci pour la reponse.
Dans le cours on a utilize le Theoreme de Bezout + Algo Euclide Etendu.. mais c'etait pas claire pour moi..

Posté par
carpediem
re : 4. Arithmétique et calcul modulaire 31-05-19 à 11:00

certes mais encore ...

Citation :
que peux-tu dire des nombres 32 et 35 ?

Posté par
lionel52
re : 4. Arithmétique et calcul modulaire 31-05-19 à 11:06

Hello !

Tu peux faire l'algo d'Euclide puis remonter les calculs, la méthode doit être expliquée quelque part.

Un exemple pour 29,24
29=1*24+5
24=4*5+4
5=1*4+1

Retour

1 = 5*1 + 4*-1
1 = 24*-1 + 5*5
1 = 29*5 + 24*-6


Couple solution : (5, -6)

Posté par
ivolavo27
re : 4. Arithmétique et calcul modulaire 31-05-19 à 11:11

Voici un example

** image supprimée **

** image supprimée **

Posté par
carpediem
re : 4. Arithmétique et calcul modulaire 31-05-19 à 12:29

1/ existe-t-il des solutions ?

carpediem @ 31-05-2019 à 11:00

que peux-tu dire des nombres 32 et 35 ?


2/ trouver une solution

Posté par
ivolavo27
re : 4. Arithmétique et calcul modulaire 31-05-19 à 14:12

carpediem
Je n'ai pas compris

Posté par
carpediem
re : 4. Arithmétique et calcul modulaire 31-05-19 à 14:58

1/ les nombres 32 et 35 sont premiers entre eux donc d'après le théorème de Bachet-Bézout l'équation admet des solutions

2/ il faut maintenant en trouver une ...

lionel52 t'a montré comment faire ...

Citation :
Un exemple pour 29 et 24
29 = 1 * 24 + 5
24 = 4 * 5 + 4 <=> 4 = 24 - (4 * 5)
5 = 1 * 4 + 1 1 = 5 - 4 * 1

Retour

1 = 5 * 1 - 4 * 1
1 = 24*-1 + 5*5
1 = 29*5 + 24*-6


Couple solution : (5, -6)

Posté par
flight
re : 4. Arithmétique et calcul modulaire 31-05-19 à 16:34

salut, puisqu'on est dans l'artithmetique modulaire pourquoi pas jouer avec les congruences.

à l'aide des congruences

35 =1[32]
32=0[32]

alors

35=3.[32]
32=0[32]

la somme membre à membre donne  :

1 = 3[32]    soit aussi  3=1[32]  

comme  33 =1[32]   alors  ...à toi

Posté par
ivolavo27
re : 4. Arithmétique et calcul modulaire 03-06-19 à 11:12

Bonjour,

J'ai essaye de faire comme ca, mais je me suis bloque..:

35 = 32*1 + 3
32= 10*3 +2
3 = (2*1) + 1

Retour
1 = 3*1 + 2 *(-1)
1 = 32 *1 + 11 *3
1 = 35* 3 + 32 * ???


J'ai fait des erreurs? Pourriez-vous s'il vous plaît m'aider à comprendre?

Merci!!!

Posté par
carpediem
re : 4. Arithmétique et calcul modulaire 03-06-19 à 15:00

1 = 3 * 1 + 2 * (-1) = 3 * 1 + [32 - 10 * 3] * (-1) = 3 * 11 + 32 * (-1) = [35 - 32 * 1] * 11 + 32 * (-1) = 35 * 11+ 32 * (-12)

...

Posté par
ivolavo27
re : 4. Arithmétique et calcul modulaire 03-06-19 à 15:56

carpediem
Merci beaucoup!
Donc
35 = 32*1 + 3
32= 10*3 +2
3 = (2*1) + 1
est correct?

la solution c'est a = 11 , b = (-12)

Posté par
carpediem
re : 4. Arithmétique et calcul modulaire 03-06-19 à 17:54

non une solution ...

Posté par
ivolavo27
re : 4. Arithmétique et calcul modulaire 03-06-19 à 17:57

Pardon, je n'ai pas compri..

Posté par
carpediem
re : 4. Arithmétique et calcul modulaire 03-06-19 à 18:10

tu as trouvé une solution de l'équation 32a + 35b = 1 ....

Posté par
ivolavo27
re : 4. Arithmétique et calcul modulaire 03-06-19 à 18:15

Mais il y a juste une, non?

Posté par
carpediem
re : 4. Arithmétique et calcul modulaire 03-06-19 à 20:53

carpediem @ 31-05-2019 à 12:29

1/ existe-t-il des solutions ?
carpediem @ 31-05-2019 à 11:00

que peux-tu dire des nombres 32 et 35 ?


2/ trouver une solution

3/ trouver toutes les solutions !!!

Posté par
ivolavo27
re : 4. Arithmétique et calcul modulaire 04-06-19 à 09:11

carpediem okey merci

Posté par
carpediem
re : 4. Arithmétique et calcul modulaire 04-06-19 à 16:38

de rien



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