a)
Il manque le signe = dans ton inéquation.
Cela doit être: (1+x)^n >= 1+nx (le signe = pour n = 0 ou x = 0) (n est
dit positif mais pas strictement positif -> n = 0 est à prendre en
considération aussi).

Supposons que (1+x)^n >= 1+nx soit vrai pour une certaine valeur k de n, on
a alors:
(1+x)^k >= 1+kx

comme x + 1 >= 0, on peut multiplier les 2 membres par x + 1 sans modifier
le sens de l'inéquation ->
(1+x)^k . (1+x) >= (1+kx).(1+x)
(1+x)^(k+1) >= 1+kx + x + kx²
(1+x)^(k+1) >= 1+( k+1)x + kx²
Et comme k x² >= 0 puisque k est dans N, on a a fortiori:
(1+x)^(k+1) >= 1+( k+1)x
Cette expression est (1+x)^n >= 1+nx dans laquelle n = k+1.
Donc si (1+x)^n >= 1+nx est vrai pour une certaine valeur k de n, (1+x)^n
>= 1+nx est encore vrai pour n = k+1.  (1)

Montrons que l'expression (1+x)^n >= 1+nx est vraie pour n = 0
(1+x)^n >= 1+nx pour n = 0 ->
(1+x)^0 >= 1+0*x
1 >= 1

Donc (1+x)^n >= 1+nx est vraie pour n = 0.
Comme (1+x)^n >= 1+nx est vraie pour n = 0, par (1), on a aussi (1+x)^n
>= 1+nx est vraie pour n = 1
Comme (1+x)^n >= 1+nx est vraie pour n = 1, par (1), on a aussi (1+x)^n
>= 1+nx est vraie pour n = 2
Comme (1+x)^n >= 1+nx est vraie pour n = 2, par (1), on a aussi (1+x)^n
>= 1+nx est vraie pour n = 3.
Et ainsi de proche en proche, (1+x)^n >= 1+nx est vraie pour tout n
de N
-----
Sauf distraction.

La suite plus tard si j'ai le temps et si j'arrive à me connecter.

b)
Je n'aime pas les probas et donc méfiance.

La première boule peut être mise dans n'importe quelle boîte, cela
convient.
La deuxième boule peut être mise partout sauf dans la boîte où il y
a la première -> proba de (n-1)/n de bien la mettre.
La troisième boule peut être mise partout sauf dans les 2 boîtes où
il y a la première et la deuxième -> proba de (n-2)/n de bien la
mettre.
Et ainsi de suite avec les n boules.

Proba de 1 boule dans chaque boîte = [(n-1)/n]*[(n-2)/n]*[(n-3)/n]* . .
. *[1/n]*

Proba de 1 boule dans chaque boîte  = (n-1)! / (n^n)

(Rappel:  0! = 1! = 1, ce rappel pour le cas où n = 1)
---
Sauf distraction ou erreur.

c)
De ma réponse précédente, on a:
p(n) = (n-1)! / (n^n)

p(n+1) = n! / ((n+1)^(n+1))

p(n)/p(n+1) = [(n-1)! / (n^n)] / [n! / ((n+1)^(n+1))]
p(n)/p(n+1) = [(n-1)! / n!].[((n+1)^(n+1)) / n^n]
p(n)/p(n+1) = [(n-1)! /( n.(n-1)!)].[((n+1)^(n+1)) / n^n]
p(n)/p(n+1) = [1/n].[((n+1)^(n+1)) / n^n]
p(n)/p(n+1) = ((n+1)^(n+1)) / n^(n+1)
p(n)/p(n+1) = [(n+1)/n]^(n+1)
p(n)/p(n+1) = [1+(1/n)]^(n+1)

Poser 1/n = x
et n + 1 = k

p(n)/p(n+1) = (1+x)^( k)   (1)

Dans la partie (a), on a montré que:
(1+x)^n >= 1+nx  ->
(1+x)^k >= 1+kx   (2)

kx = (n+1)/n = 1 + (1/n) > 1
dans (2), -> on a a fortiori :
(1+x)^k >= 1+1
(1+x)^k >= 2
avec (1) ->
p(n)/p(n+1) >= 2
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Sauf distraction.

Suite et fin.

d)
On a montré que p(n)/p(n+1) >= 2

->p(n+1) <= (1/2).p(n)

p(2) <= (1/2).p(1)
p(3) <= (1/2).p(2) -> a fortiori:
p(3) <= (1/2)².p(1)

p(4) <= (1/2).p(3) -> a fortiori:
p(4) <= (1/2)³.p(1)

Et ainsi de proche en proche, on a:
p(n) <= (1/2)^(n-1)  . p(1)
Avec p(1) = (n-1)! / (n^n) = 0!/(1^1) = 1/1 = 1
->
p(n) <= (1/2)^(n-1)
---
lim(n -> oo) p(n) <= lim(n -> oo) [(1/2)^(n-1) ]
lim(n -> oo) p(n) <= 0
Et comme une proba n'est jamais négative, on a donc:
lim(n -> oo) p(n) = 0
-----
Sauf distraction.