P(x)= ax^3 +bx²+cx +d  avec a different de 0
P(x+1)= a(x+1)^3 +b(x+1)² +c(x+1)+d
      =a(x^3 +3x² +3x+1) +b(x²+2x+1)+cx+c+d
      =ax^3+ (3a+b)x² +(3a+2b+c)x+(a+b+c+d)
P(x+1)-P(x)=x² <==>3ax²+(3a+2b)x +(a+b+c)=x²+0x+0
deux polynomes sont egaux si les coefficients des monomes de meme degre sont egaux d'ou :
3a=1 et 3a+2b=0 et a+b+c=0
a=1/3 b=-1/2 c=1/6
P(1)=0 <==>a+b+c+d=0 <==> d=-a-b-c=0

3)P(n+1)=1/3)n^3 +(1/2)n²+(1/6)n en remplace dans l'expression de P(x+1) x par n et a,b,c et d par leurs valeurs
or (1/3)n^3 +( 1/2)n²+(1/6)n =[n(2n+1)(n+1)]/6

4)les 10 premiers :
1²+2²+3²+--------+10²=[10(20+1)(10+1)]/6 on remplace n par 10
les 100 premiers : 1²+2² 3²+-----------+100²=[100(200+1)(100+1)]/6
il te suffit de faire les calculs

merci bocoup pour tes réponses !! di moi est-ce que, par hasard t'aurais une idée pour la question 2 ??

encore merci tu m'as sauvé la vie !!!  

Bonsoir

Exercice déja posté de nombreuses fois, utilise le moteur de recherche du forum

Bonjour,

J'ai fais ce que vous m'avez suggéré en allant sur le moteur de recherche. Des exercices similaires ont effectivement été traités, cependant aucune des questions ne ressemble à ma question 2) !! J'ai bien rencontrer les autres questions de mon exercice mais pas celle-là !!
Je ne sais pas quoi faire aidez-moi svp !!

Essaye un raisonnement par réccurence

on ne fais pas la recurrence en 1ere ?

Seb

voila la reponse du 2)
on a p(n+1)-p(n)=n²
     p(n)-p(n-1)=(n-1)²
     ...............
       p(2)-p(1)=1²
       p(1)-p(0)=0²
en sommant ttes ses egalités on obtient:
(p(n+1)-p(n))+(p(n)-p(n-1))+....+(p(2)-p(1))+(p(1)-p(0))=1²+2²+...+n²
p(n+1)-p(0)=1²+2²+3²+...+n²
comme p(0)=0
on deduit que
p(n+1)=1²+2²+3²+...+n²
je sui sur de ma reponse

non n'ai pas fait la recurrence, je ne sais même pas ce que c'est !!

Merci bel_jad5 je vais esseyer de comprendre ce que tu as marqué, et merci à tous de m'avoir aidé !!!

t'a compris ce que g ecri ou non?

en fait je suis pas sûre !! di-moi si je me trompe mais tu as utilisé la recurrence, c'est bien ça??

le truc c'est que je l'ai pas encore appris mais je pense avoir compris le principe

c ps une recurrence, g etabli le resultat directement ss passer par la recu..

le procédé que t'as utilisé porte un nom ou pas ?? ça vient de quel cours ??

parce que moi dans mes cours je n'ai pas ce stile de procédé...

c ps du cours c une methode qu il ft connaitre:somme echlonée..il ft savoir l'appliquer ..car tu voi qd tu fai la somme ya des termes qui disparaiss. ce ki rend les calculs faciles..

oki !! et dis-moi l'expression p(n)-p(n-1)=(n-1)² , tu l'as déduit par supposition pk elle est pas dans l'énoncer ??

dsl je t'embète avec mes questions lol !!

...par contre tu poses de bonn questions ,en plus t'a ps l habitude de voir de tels raisonnement..
reagrde on a montré que pour "chaque" entier n on a la relation E:p(n+1)-p(n)= n²..n é c ps?
puisque "n-1" est un entier comme "n" on peut appliquer cett formule sur (n-1)(il suffit alors de remplacer n par n-1) ce qui donne:
p((n-1)+1)-p(n-1)=(n-1)²(g remplacé n par n-1 ds la relation E)
d ou
p(n)-p(n-1)=(n-1)²

en quoi elle consisite exactement la méthode de somme échelonné ??
ps: merci pour ttes tes réponses !!

lorsque j'ai sommé ttes les egalités,j'ai obtenu ..
(p(n+1)-p(n))+(p(n)-p(n-1))+...+(p(3)-p(2))+(p(2)-p(1))+(p(1)-p(0))=1²+2²+3²+..+n²
regarde bien cette somme:
-on a p(n) deux fois une fois avec un signe plus eu une fois avec un signe moins alors elle va disparaitre
-de meme pour p(n-1)                {c ça echloné}
-de meme pour ts les autres
-on a p(n+1) une seule fois  alors il reste
-on a p(0) une seule fois alors il reste

ce qui donne
p(n+1)+(p(n)-p(n))+(p(n-1)-p(n-1))+...+(p(3)-p(3))+(p(2)-p(2))+(p(1)-p(1))-p(0)=1²+2²+3²+4²+..+n²
p(n+1)=1²+2²+3²+..+n²

ah oki g compris !!!! mais c'est compliqué ton truc !!! ou alors chui vraiment pas douée lol !!!  

au fait merci bocoup pour tes réponses !!!!! tu m'aides vraiment !!!!

oui c un peu compliqué,mai si essay de la maitraiser ,elle pt te servir ds bcp d exo..c une methode bien connue,qu il ft vraimen maitriser..
t'a trouver la somme ou non?t'a compris la methode ou non?
1+2²+3²+4²+..+n²=?

g compris la méthode mais je t'avoue ke je suis pas sûre de savoir le refaire !!!
1²+2²+3²+4²+...+n²= p(x+1)+ p(o)
c ça ??

or p(o)=0,
donc 1²+2²+3²+...+n² = p(x+1),
c bien ça l'égalité ??

tré bien..juste il ft faire attention car il y a un signe moins devant p(0)
1²+2²+3²+..+n²=p(n+1)-p(0)=p(n+1)
px tu donner la forme explicite de p(n+1)?t'a deja trouvé le polynome p?alors calculer la valeur de p(n+1) pour deduire la somme

ya qu'une seule choz ke je comprend pas c'est que p(2)-p(1) me donne 2² !!
or toi tu a écris que p(2)- p(1)=1²...
mais j'ai suremetn fait une erreur de calcul !!

le polynome p c: p(x)=ax^3+bx²+cx+d, c bien ça ??

le polynome c p(x)=1/3*x^3-1/2x²+1/6x
si on remplace x par 2
p(2)=1/3*2^3-1/2*2²+1/6*2
    =8/3-2+1/3
    =9/3-2
    =3-2
    =1
p(1)=1/3-1/2+1/6
    =0
donc p(2)-p(1)=1-0=1=1²

et p(n+1)= ax^3+(3a+b)x²+(3a+2b+c)x+(a+b+c+d)
mais je suis pas du tt sûre de ça !!!

ah wai chui bête, c'est pk j'avais pas pris la bonne expression excuz !!

c bien ça la forme explicite c p(n+1)=ax^3+(3a+2b+c)x+(a+b+c+d)??

je pense que "drioui" t'a deja donné les valeur de a,b et c,n é c ps?
a=1/3 b=-1/2  c=1/6  et d =0
p(x)= ax^3+bx²+cx+d
on remplace les lettres par leur valeurs,on obtient
p(x)=1/3x^3-1/2x²+1/6x

wai ça ok !! mais tu m'as parlé de déduire la somme !! seulement je sais pas kelle somme je dois trouver ni à koi elle sert...

t'a montré que
1²+2²+....+n²=p(n+1),n é c ps?alors essayons de calculer p(n+1) puisque on connait le polynome p
p(n+1)=1/3*(n+1)^3-1/2*(n+1)²+1/6(n+1)
on factorise par n+1
p(n+1)=(n+1)(1/3*(n+1)²-1/2*(n+1)+1/6)
      =(n+1)(1/3(n²+2n+1)-1/2(n+1)+1/6)
      =(n+1)(1/3n²+2/3n+1/3-1/2n-1/2+1/6)
      =(n+1)(1/3n²+1/6n)
on factorise par n/6
p(n+1)=n(n+1)(2n+1)/6
ainsi on deduit que
1²+2²+3²+..+n²=p(n+1)=n(n+1)(2n+1)/6
voila

Merci bocoup t'es super simpa d'avoir répondu à toutes mes questions !!!!! j'espère que je t'ai pas trop embêté !!!
salut p-e à une autre fois !!!! Encore merci mille fois !!!!!!

lol..