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Niveau troisième
Additions de cubes.
Posté par Anolator
Bonjour, je voudrais savoir comment pourrait-on connaître le chiffre des unités de l'addition 1³+2³+3³+4³+5³+...+2001³
Cela fait deux heures que j'y suis et je n'y arrive toujours pas...
Aidez moi s'il vous plaît en m'expliquant bien
, car ça sert à rien de faire un exercice sans le comprendre
Bonjour,
il faut que tu regardes ce que ça te donne pour les premiers entiers :
1³+2³=1+8=9=(1+2)²=3²
1³+2³+3³=1+8+27=36= (1+2+3)²=6²
1³+2³+3³+4³=1+8+27+64=100=(1+2+3+4)²=10²
1³+2³+3³+4³+...+2001³=(1+2+3+4+...+2001)²
Il ne te reste plus qu'à trouver combien fait : 1+2+3+...+2001=?
La formule générale étant :
Démonstration :
Le principe est de réécrire ta somme dans l'autre sens, je m'explique :
Maintenant j'additionne et
:
Et donc :
Fin de la démonstration.
Dans ton cas, il ne te reste plus qu'à remplacer n par 2001.
J'espère t'avoir bien expliqué et surtout que tu as compris. Bon courage !
Bonjour,
réponse inadaptée à la question qui est juste de trouver le chiffre des unités. pas de calculer la valeur de la somme !!
donc le chiffre des unités c'est la somme des cubes des seuls chiffres des unités et même de leurs seuls chiffres des unités !
le chiffre des unités cherché est le même que celui de
1³+2³+3³+4³+5³+...+9³+0³ + 1³+2³+3³+4³+5³+...+9³+0³ + ... + 1³+2³+3³+4³+5³+...+9³+0³ + 1³
et il y a autant de "1³+2³+3³+4³+5³+...+9³+0³" que de dizaines dans 2000 (*)
et on calcule le chiffre des unités de 1³+2³+3³+4³+5³+...+9³+0³ directement à la main, et même que ce calcul ne sert à rien du reste puisqu'on le multiplie ensuite par combien déja (*) ?
Excusez moi j'ai pas trop compris vos réponses :S Oui on nous demande juste de trouver le chiffre des unités...
Merci de vos réponses en tout cas!
Ah oui, pas fait attention à ta question. Ca me semblait compliqué pour un élève de 3ème. Bref, tu sais calculer la somme au cube des entiers consécutifs maintenant. 
pour préciser ma réponse :
le cube de 10 se termine par le même chiffre des unités que le cube de 0
le cube de 11 " " le cube de 1
...
le cube de 357 " " le cube de 7
...
le cube de 2000 " " le cube de 0
le cube de 2001 " " le cube de 1
et donc tous ces calculs de cubes se résument aux calculs de seulement quelques uns, les cubes de 0 à 9, et leur somme S est à multiplier par le nombre de "décades" dans l'ensemble des nombres de 1 à 2000
1 à 10 une décade
11 à 20 une décade
21 à 30 encore une
etc
1991 à 2000 dernière décade
ça en fait combien ?
et il reste à ajouter à S fois ce nombre de décades, le dernier cube 20013
Regarde ce que mathafou a écrit :
Citation :
le chiffre des unités cherché est le même que celui de
1³+2³+3³+4³+5³+...+9³+0³ + 1³+2³+3³+4³+5³+...+9³+0³ + ... + 1³+2³+3³+4³+5³+...+9³+0³ + 1³
le chiffre des unités cherché est le même que celui de
1³+2³+3³+4³+5³+...+9³+0³ + 1³+2³+3³+4³+5³+...+9³+0³ + ... + 1³+2³+3³+4³+5³+...+9³+0³ + 1³
Calculons "bêtement" tous les chiffres au cube :
0³=0
1³=1
2³=8
3³=27
4³=64
5³=125
6³=216
7³=343
8³=512
9³=729
Si tu prends une calculatrice, tu constateras que le chiffre des unités est le même pour les nombres entiers :
10³=...0
11³=...1
12³=...8
13³=...7
14³=...4
15³=...5
16³=...6
17³=...3
18³=...2
19³=...9
20³=...0
21³=...1
22³=...8
23³=...7
24³=...4
25³=...5
26³=...6
27³=...3
28³=...2
29³=...9
.
.
.
Donc 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+0+1 à le même chiffre unité que 0³+1³+2³+3³+4³+5³+6³+7³+8³+9³+...+2000³+2001³.
Et pour calculer 1+2+3+4+5+6+7+8+9+1, tu peux utiliser la formule que j'ai démontrer tout à l'heure en prenant n=9 et tu ajoutes 1 au résultat bien sûr !
Donc si je comprends bien je prends : 1+2+3+4+5+6+7+8+9+1 , j'obtient 46³ donc je peut dire que le chiffre des unités de 1³+2³+3³+4³+5³+...+ 2001³ est égal à 6 vu que 46 fini par 6 et logiquement tout chiffres qui fini par 6 à un chiffre d'unités de 6!
Bon maintenant je sais pas comment l'expliquer sur ma copie ^^
Bon j'ai repris mes esprit ! \o/
Je me suis embrouillé avec les calcules...
En fait 0+1+2+3+...+2001 à la même unité que 0³+1³+2³+3³+...+2001³=(1+2+3+...+2001)²
j'avais oublié une partie. 
la somme des chiffres des unités de 13 + ... + 20003 est donc 200 fois la somme des chiffres des unités de 1³+2³+3³+4³+5³+6³+7³+8³+9³+0³ point.
et ce chiffre des unités là, sans même chercher à calculer cette somme de 10 cubes, est zéro
200 fois n'importe quoi se termine par 0 (vu en primaire)
il te reste à ajouter à ce 0 le chiffre des unités de 20013 qui est le même que celui de 13 et qui est ...
annexe, vérif :
si tu utilises la formule démontrée par ubg, (enfin si tu extrais de ses posts la bonne formule ), tu obtiens que la valeur exacte de 1³+2³+3³+4³+ ... +2001³ = (2002
2001/2)2 = (10012001)2 est le même que (11)2, c'est à dire 1
mais la démonstration de : "la somme des cubes est le carré de la somme des nombres" n'est pas vraiment du niveau 3ème c'est juste que comme elle est citée ici, tant qu'à faire...