f(x)= -x + V(x²+8)
f '(x) = -1 + (x/V(x²+8))

lim(x-> -oo) f(x) = oo + oo = oo

f(x)= -x + V(x²+8) = (-x + V(x²+8)).(-x - V(x²+8))/(-x - V(x²+8))
= (x² - (x²+8))/(-x - V(x²+8)) = -8/(-x - V(x²+8))

lim(x-> +oo) f(x) = lim(x-> +oo) [-8/(-x - V(x²+8))] = -8/(-oo-oo) = 0

Donc l'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe représentant f(x) du coté des x positifs.
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g(x) = f(x) + 2x = x + V(x²+8)
g(x) = (x + V(x²+8)).(x - V(x²+8))/(x - V(x²+8))
g(x) = (x² - x²-8)/(x - V(x²+8))  
g(x) = -8/(x - V(x²+8))

lim(x-> -oo) g(x) = -8/(-oo - oo) = 0

Et donc la droite y = -2x (et pas ce qui est écrit dans l'énoncé) est asymptote oblique à la courbe représentant f(x) du coté des x négatifs.
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Sauf distraction.