Bonjour

- Question 1 -
Si u est un vecteur de coordonnées (x; y) et v un vecteur de coordonnées
(x'; y'), alors :
le vecteur u+v a pour coordonnées (x+x'; y+y')
et
le vecteur u-v a pour coordonnées (x-x'; y-y').

Donc :
(je pense qu'il y a une erreur dans ton énoncé, alors je calcule
les normes avec des carrés)

1/4(||u+v||² - ||u-v||²)
=1/4((x+x')² + (y+y')² - (x-x')² -(y-y')²)
= 1/4(x²+2xx'+x'²+y²+2yy'+y'²-x²+2xx'-x'²-y²+2yy'-y'²)
=1/4(4(xx'+yy')
=xx' + yy'


- Question 2 -
u de coordonnées (x;y) et v de coordonnées (x'; y') sont
orthogonaux
si seulement si xx' + yy' = 0
si seulement si 1/4(||u+v||² - ||u-v||²) = 0
(à l'aide de la qution précédente)
si seulement si ||u+v||² = ||u-v||²
si seulement si ||u+v|| = ||u-v||


Voilà, bon courage ...

Je te remercie

Voila la suite : deuxieme exo
1. Calculer
2//1/2(u+v)//²+1/2//v-u// en fonction de x,x',y,y'
u et v etant des vecteurs
u(x,y) et v(x',y')
2. En deduire que
//u//²+//v//² = 2//1/2(u+v)//²+1/2//v-u//²
Merci d'avance et je remercie encore oceane pour le premier exo
** message déplacé **

Je me suis tromper a la premiere question c'est

Calculer

2//1/2(u+v)//²+1/2//v-u//² en fonction de x,x',y,y'

J'avais oublier le carre

- Question 1 -
Si u est un vecteur de coordonnées (x; y) et v un vecteur de coordonnées
(x'; y'), alors :
le vecteur u+v a pour coordonnées (x+x'; y+y')
et
le vecteur v-u a pour coordonnées (x'-x; y'-y).

Donc :
2||1/2(u+v)||²+1/2||v-u||²
= 21/4 [(x+x')²+(y+y')²] + 1/2((x'-x)²+(y'-y)²)
= 1/2(x²+2xx'+x'²+y²+2yy'+y'²+x'²-2xx'+x²+y'²-2yy'+y²)
= 1/2(2x²+2x'²+2y²+2y'²)
= x² + y² + x'² + y'²


- Question 2 -
On a :
||u||² = x² + y²
et
||v||² = x'² + y'²

Donc :
x² + y² + x'² + y² = ||u||² + ||v||²

Par conséquent :
||u||² + ||v||² = 2||1/2(u+v)||²+1/2||v-u||²


Voilà, bon courage ...

merci encore
voila la suite exo 3 :
1. Calculer
1/2(//u+v//²-//u//²-//v//²) en foction de x,y,x',y'
u et v etant des vecteurs
u(x,y) et v(x',y')
2. A,B,C sont trois points du plan tels que u =Ba et v=AC
BA et AC etant des vecteurs
Demontrer a l'aide du theroeme de pythagore que les vecteurs u et v sont
orthogonaux si et seulement si xx'+yy'=0
voila merci d'avance

Re Bonjour

- Question 1 -
1/2(||u+v||²-||u||²-||v||²)
=1/2((x+x')² + (y+y')² - x² - y² - x'² - y'²)
Je te laisse faire les calculs, tu devrais trouver :
xx' + yy'


- Question 2 -
xx'+yy'=0
si et seulement si 1/2(||u+v||²-||u||²-||v||²) = 0
à l'aide de la question précédente
si et seulement si ||u+v||²-||u||²-||v||² = 0
si et seulement si ||u+v||² = ||u||² + ||v||²
si et seulement si BC² = AC² + AB²
si et seulement si ABC est rectangle en A
si et seulement si u et v sont orthogonaux

Voilà, bon courage ...

merci encore
voila la fin exo 4
A(-2,5) B(-5,-1) C(2,3)
1 . Calculer 1/2(//BA+AC//²-//BA//²-//AC//²)
BA et AC sont des vecteurs
2. Deduire la nature du triangle (BAC)
question a part :
Soit (MAB) un triangle de mediane (MO) ,O designant le milieu du segment
(AB). En posant MA=u et MB=v
MA ,u,v,MB sont des vecteurs
Demontrer que MA²+MB²=2MO²+1/2AB²
merci d'avance

A(-2,5) B(-5,-1) C(2,3)  
1 . Calculer 1/2(//BA+AC//²-//BA//²-//AC//²)  
BA et AC sont des vecteurs  
2. Deduire la nature du triangle (BAC)  
question a part :  
Soit (MAB) un triangle de mediane (MO) ,O designant le milieu du segment

(AB). En posant MA=u et MB=v  
MA ,u,v,MB sont des vecteurs  
Demontrer que MA²+MB²=2MO²+1/2AB²  
merci d'avance

** message déplacé **

répondu ici

Au fait j'avais oublier
pour le premier exo il y a une autre question
Faire un figure illustrant de
//u+v//=//u-v// en posant u=BA et v=AC
ou est ce que je met ces points sur le repere orthonormal
u,v,ba,ac sont de vecteurs
merci d'avance