A(-2,5) B(-5,-1) C(2,3)
1 . Calculer 1/2(//BA+AC//²-//BA//²-//AC//²)
BA et AC sont des vecteurs
2. Deduire la nature du triangle (BAC)
question a part :
Soit (MAB) un triangle de mediane (MO) ,O designant le milieu du segment
(AB). En posant MA=u et MB=v
MA ,u,v,MB sont des vecteurs
Demontrer que MA²+MB²=2MO²+1/2AB²
merci d'avance
1) calcul de 1/2(//BA+AC//²-//BA//²-//AC//²)
On a :
(BA+AC)²=BA²+AC²+2BA.AC; BA et AC sont des vecteurs
BA.AC est leur
produit scalaire.
puisque (BA+AC)²=//BA+AC//²; BA²=//BA//² et AC²=//AC//²
alors:
1/2(//BA+AC//²-//BA//²-//AC//²) =BA.AC
BA a pour coordonnées (-5+2,-1-5)=(-3,-6)
AC a pour coordonnées (2+2,3-5)=(4,-2)
donc BA.AC=(-3)(4)+(-6)(-2)=-12+12=0
2) les deux vecteurs BA et AC sont donc orthogonaux en A et on le théorème
de pythagore//BA+AC//²= //BA//²+//AC//²
le triangle ABC est donc rectangle en A.
Question à part:
MA²+MB²=(MO+OA)²+(MO+OB)² ; relation de chasles.
=MO²+2MO.OA+OA²+MO²+2MO.OB+OB².
=2MO²+2MO.(OA+OB)+OA²+OB²
Comme O est le milieu de AB alors OA+OB=0 (vecteurs)
et OA²=OB²= ((1/2)//AB//)²; car //OA//=//OB//=(1/2)//AB//
=(1/4)//AB//²
=(1/4)AB²
donc:
MA²+MB²=2MO²+2OA²
=2MO²+2(1/4)AB²
= 2MO²+(1/2)AB²
voila je vous prie d'accépter mes remerciements.
vect(BA) + vect(AC) = vect(BC)
|vect(BA) + vect(AC)| = |vect(BC)|
|vect(BA) + vect(AC)|² = |vect(BC)|² = (2-(-5))² + (3-(-1))² = 49 + 16 = 65
|BA|² = (-2-(-5))² + (5-(-1))² = 9 + 36 = 45
|AC|² = (2-(-2))² + (3-5)² = 16 + 4 = 20
(1/2).(|BA+AC|² - |BA|² - |AC|²) = (1/2).(65 - 45 - 20) = 0
(|BA+AC|² - |BA|² - |AC|²) = 0
(|BC|² - |BA|² - |AC|²) = 0
|BC|² = |BA|² + |AC|²
-> le triangle BAC est rectangle en A.
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2)
vect(MA) = vect(MO) + vect(OA)
MA² = MO² + 2.vect(MO).vect(OA) + OA²
MA² = MO² + 2.vect(MO).(1/2).vect(BA) + ((1/2).(BA))²
MA² = MO² - vect(MO).vect(AB) + (1/4).AB² (1)
vect(MB) = vect(MO) + vect(OB)
MB² = MO² + 2.vect(MO).vect(OB) + OB²
MB² = MO² + 2.vect(MO).(1/2).vect(AB) + ((1/2).vect(AB))²
MB² = MO² + vect(MO).vect(AB) + (1/4).AB² (2)
(1) + (2) ->
MA² + MB² = 2MO² + (1/2).AB²
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Sauf distraction.
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