Avant de commencer l'exercice, jepense que la fonction H a été mal écrite
Ca ne serait pas plutôt
H(x) = 1/[(x-2)(x²-4x+5)]
Il est important de mettre les parenthèses ici.


- Question 1 -
H n'existe pas si
x - 2 = 0
et si x² - 4x + 5 = 0

x - 2 = 0 équivaut à
x = 2

x² - 4x + 5 = 0
J'utilise le discriminant :
= 16 - 415
= - 4
Donc, x²-4x+5 garde un signe constant sur (celui de a),
donc : pour tout x appartenant à , x²-4x+5 > 0

H est définie sur \{2}


- Question 2 -
Supposons qu'il existe a et b réels tels que :
H(x) = a/(x-2) + b/(x²-4x+5)

On a alors :
(a(x²-4x+5)+b(x-2))/[(x-2)(x²-4x+5]
= [ax²+(-4a+b)x+5a-2b)/[(x-2)(x²-4x+5)]

Par identification, on a :
a = 0
4a + b = 0
5a - 2b = 1

Donc :
a = 0
b = 0
et 0 1

Contradiction

Conclusion : il n'existe pas de réels a et b tels que
H(x) = a/(x-2) + b/(x²-4x+5)



- Question b -
Si il existe trois réels a, b, c tels que :
H(x) = a/(x-2) + (bx+c)/(x²-4x+5), alors :

(x-2)H(x) = a + [(bx+c)(x-2)]/(x²-4x+5)
soit :
1/(x²-4x+5) = a + [(bx+c)(x-2)]/(x²-4x+5)

Et quand x tend vers 2, on obtient :
1/(2²-8+5) = a
Donc a = 1


Voilà voilà, bon courage ...