1) Thalès donne : CM/CB=CN/CA=MN/BA soit x/8=CN/10=MN/6 ou encore x/4=CN/5=MN/3 (en simplifiant par 2) d'où MN=3/4*x et CN=5/4*x

Soit P le périmètre du triangle CMN.
P=CM+MN+CN=x+3/4*x+5/4*x=x+8/4*x=x+2*x=3*x

P=9 ssi 3*x=9 ssi x=3

2) Soit A l'aire de CMN.
A=(base*hauteur)/2=(CM*MN)/2=(x*3/4*x)/2=3/8*x^2

A=8.64 ssi 3/8*x^2=8.64 ssi x^2=8/3*8.64=23.04 ssi x=4.8 (car x est positif)

3)Soit Q le périmètre du quadrilatère ABMN.
Q=AB+BM+MN+NA

Or BM=BC-CM=8-x
et NA=AC-CN=10-5/4*x

d'où Q=6+(8-x)+3/4*x+(10-5/4*x)=24-3/2*x

On a P=3*x (voir 1) donc :

P=Q ssi 3*x=24-3/2*x ssi 9/2*x=24 ssi x=16/3

A remarquer que AC²=AB²+BC² -> le triangle ABC est rectangle en B.

Les triangles ABC et nMC sont semblables (de même forme)
->
CM/BC= Périmètre(CMN)/périmètre(ABC)

x/8= Périmètre(CMN)/(6+8+10)
Périmètre(CMN) = 24x/8
Périmètre(CMN) = 3x

9 = 3x
x = 3 (pour avoir Périmètre(CMN) = 9 cm)
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(CM/BC)² = Aire(CMN)/Aire(ABC)
x²/64 = Aire(CMN)/((1/2).8*6)

Aire(CMN) = (x²/64)*24
8,64 = (x²/64)*24

x² = 64 * 8,64 / 24
x = 4,8 cm (pour avoir Aire(CMN) = 8,64 cm²)
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AB/MN = BC/MC = AC/CN

6/MN = 8/x = 10/CN
-> MN = (3/4)x
et CN = (5/4)x

Périmètre(CMN) = 3x
Périmètre(ABMN) = AB + MB + MN + AN
Périmètre(ABMN) = 6 + (8-x) + (3/4)x + (10- (5/4)x)
Périmètre(ABMN) = 24 - (3/2)x

Périmètre(CMN) = Périmètre(ABMN) si:
3x = 24 - (3/2)x
6x = 48 - 3x
x = 16/3
Solution qui convient puisque x < 8
-> on aura Périmètre(CMN) = Périmètre(ABMN) pour x = (16/3) cm
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Sauf distraction.  

bonjour
appelle a,b,c les côtés BC,AC,AB du triangle ABC
a+b+c=24cm
appelle x,b'c',les côtés CM,CN,MN du triangle CNM
on veut que a'+b'+x=9
Puisque MN est // et que tu n'as pas manqué de travailler sur le théorème de Thalès pendant les vacances,
tu sais que l'on peut écrire
CM/CB=CN/CA=MN/AB
et que tu te souviens que si tu as
x/a=b'/b=c'/c tu peux écrire que
x/a=(x+b')/(a+b)=(x+b'+c')/(a+b+c)=9/24
je te laisse finir et calculer x.
Toujours dans l'esprit de tes connaissances, je te rappelle qu'un triangle dont les côts ont pour longueur
6,8,10 est un triangle rectangle puisque
6²+8²=10² (36+64=100)
le triangle est rectangle en B est son aire est
BA*BC/2=6*8/2=24cm²
l'aire de MNC doit être 8,64 cm²  (aire =MN*MC/2)
si k est le rapport x/a
les aires seront dans le rapport k²=8,64/24
ce qui donne k=0,6
donc x=0,6a=6cm
pour que les aires du triangle CMN et du quadrilatère
ABMN soient égaux tu vas écrire que
24-24k²=24k² (la différence entre l'aire de ABC et de CMN=aire de CMN)
48k²=24
k²=1/2
k=1/V2   or k=x/a
x=ak=a/V2
=8/V2=2V2

et si tu veux que les périmètres soient égaux
tu écris "bêtement"
AB+BM+MN+NA=MC+CN+NM
AB+BM+NA=MC+CN
et si k est le rapport CN/CA
AB+(CB-CM)+(CA-CN)=MC+CN
AB+CB+CA=2CM+2CN
24=2(8k+10k)=36k
donc k=24/36=2/3
et donc x=20/3cm
Bon travail

48k²

merci beaucoup pour toutes vos reponses