salut.
1. son domaine de definition c'est R tout entier.
on calcule sin(2*(x+Pi))=sin(2x+2Pi)=sin(2x).
donc f est Pi periodique.
2.f est impaire. Pourquoi ?
f(-x)=sin(2*(-x))=sin(-2x)=-sin(2x)=-f(x)
3.on calcule f(x+Pi/4)=sin(2*(x+Pi/4)=sin(Pi/2+2x)
de meme f(Pi/4-x)=sin(Pi/2-2x)
la deux possibilite, ou tu dis d'apres les regles de trigonometrie (et toi tu peux le verifier sur le cercle trigonometrique), sin(Pi/2-2x)=sin(Pi/2+2x)
sinon tu utilises la formule sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b) pour le demontrer.
donc f(x+Pi/4)=f(Pi/4-x)
donc x=Pi/4 est axe de symetrie de la courbe representative de f.
4.
la 1 nous dit que l'esemble de definition de f est R.
donc normalement etude sur R.
or f est Pi periodique donc etude sur [-pi/2,Pi/2]

la 2 dit qu'elle est impaire. donc etude sur [0,Pi/2]

la 3 dit enfin que sa courbe admet comme axe de symetrie x=Pi/4. donc etude sur [0,Pi/4]

je recapitule on fait l'etude sur [0, Pi/4] de f.
on obtient une courbe. on fait le symetrique de cette courbe par rapport a x=Pi/4. la courbe + son symtrique.
c'est la courbe representative de f, f restreinte a [0,Pi/2]
ensuite on fait le symetrique de cette courbe par rapport au point O(0,0).symetrique + courbe : on obtient la courbe representative de f, restreinte a [-Pi/2,Pi/2].
enfin f est Pi periodique, pour obtenir la courbe representative sur R, il suffit de tracer les symetriques de la courbe representative de f restreinte a [-Pi/2,Pi/2] par les translations de vecteurs de coordonnees (k*Pi,0) k dans Z.

5. tableau de variation de f sur [0,Pi/4] :

f est continue et derivable sur [0, Pi/4].
f'(x)=2*cos(2x)
on considere x dans [0,Pi/4]
f'(x)>=0 <=> x dans [0,Pi/4]
donc f est croissante sur [0, Pi/4].
f'(x)=0<=>cos(2x)=0<=>x=Pi/4
donc la courbe representative de f admet une tangente horizontale en A(Pi/4,1)
f(0)=0
f(Pi/4)=1
je te laisse faire le tableau de variation.
meme chose pour la courbe (indication f'(0)=2, ca aide...)

voila j'ai ete rapide donc tres brouillon
si ca a pu t'aider...