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Aire d'un triangle dans un hexagone
Bonjour tous le monde, voici un exercice qui provient du premier tour de la Coupe animath de Printemps que je n'arrive pas à résoudre:
Soit ABCDEF un hexagone régulier et P un point à l'intérieur. On donne les valeurs d'aires de triangles suivantes:
Aire PBC=46, Aire PDE=23, Aire PFA=48. Combien vaut Aire PAB ?
Mes recherches : Puisque l'hexagone est régulier, la distance entre deux côtés opposés est toujours la même, je l'appelle H, et les triangles ont la même base b.
Si on note h la hauteur du triangle PAB, celle du triangle CDP est H-h et
Il suffit donc de trouver la valeur de bH/2. On peut refaire la même chose aux triangles PBC et PEF et aux triangles PCD et PFA : la somme des aires de deux triangles opposés est bH/2.
Le reste de mes recherches ne me semble pas concluant.
Si vous pourriez me donner des indices je vous en remercierait.
Bonne journée.
Bonjour,
l'aire de ces trois triangles est la même
ceci permet de calculer l'aire de l'hexagone (compter les triangles équilatéraux)
donc l'aire de PAB+PDE
Bonjour, merci pour votre réponse.
Je trouve que l'aire du grand triangle équilatéral est 3x117 puis que l'aire de l'hexagone est 2x117. L'aire d'un petit triangle équilatéral est donc 117/3=39. Donc l'aire de PAB vaut 48+46-39=55 et le site valide.
voila.
on "profite" du fait que le grand triangle est composé de 9 petits triangles équilatéraux identiques et l'hexagone de 6
et que l'aire PAB+PDE = OAB+ODE = 2 petites triangles.
(démontré dans le 1er message)
un exo du même genre avec un autre polygone régulier (pentagone, octogone etc) donnerait des calculs plus compliqués avec des racines carrées un peu partout... (les "morceaux" ne sont pas identiques)
mais le principe de la méthode resterait le même
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