Combien tu payes pour qu'on fasse ton travail à ta place ?

C'est trop long pour moi, en voici quelques-uns.

1)
Soit a la largeur et b la longueur du rectangle.  (b > a)
le périmètre = 2(a + b)
2(a+b) = 12  -> a + b = 6
aire = a*b
a.b = 6

a+b = 6  -> a = 6 - b  
ab = 6

(6-b)b = 6
6b - b² = 6
b² - 6b + 6 = 0

b = 3+/-racine(9-6)
b = 3+/-racine(3)

-> a = 6 - ( 3+/-racine(3))

La longueur du parterre est donc = 3 + racine(3) mètres
et la largeur =  3 - racine(3) mètres
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Pour que l'aire soit la plus grande possible:
a + b = 6
aire = (a.b)
aire = a.(6-a)
aire = 6a - a²

Soit la fonction:
f(x) = 6x - x²  
f '(x) = 6 - 2x
f '(x) > 0 pour x dans [0 ; 3[ -> f(x) croissante
f '(x) = 0 pour x = 3
f '(x) < 0 poiur x > 3 -> f(x) décroissante.
Il y a donc un maximum de f(x) pour x = 3

L'aire sera max pour a = 3, donc pour b = 6 - a = 6 - 3 = 3
On a alors a = b = 3
Le parterre est donc carré.
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2)
Le début est là pour montrer qu'il y a probablement une erreur
d'énoncé (ou une distraction du prof).

f(t) = -16t² + 24t + 1
f '(t) = -32t + 24
f '(t) < 0 pour t dans ]-oo ; 0,75[  -> f(t) croissante
f '(t) = 0 pour t = 0,75  
f '(t) > 0 pour t > 0,75  -> f(t) décroissante.

Max de f(t) pour t = 0,75.
Ce max vaut: f(0,75) = 10
(Tu aurais donc intérêt à vérifier l'énoncé, car cela correspond
à 10 m de haut et donc bien plus que les 3 m annoncés)


A partir d'ici commence la résolution:
f(t) > 2,7
-16t² + 24t + 1 > 2,7
-16t² + 24t - 1,7 > 0

Recherche des racines de -16t² + 24t - 1,7 = 0
t = [-12 +/- racine(12² - 16*1,7)]/(-16)
t = (-12 +/- racine(116,8))/(-16)
t = (-12 +/- 10,807)/(-16)
t1 = 0,074537
t2 = 1,42546

-16(t -  0,074537)(t - 1,42546) > 0
(t -  0,074537)(t - 1,42546) < 0

Ce qui est vrai pour 0,074537 < t <  1,42546
Le temps cherché est donc: 1,42546 - 0,074537 = 1,351 seconde.
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5)
Soient x et y les 2 nombres.

x + y = 7   -> x = 7 - y
xy = -12

(7-y).y = -12
7y - y² = -12
y² - 7y - 12 = 0

y = [7 +/- racine(49 + 48)]/2
y = [7 +/- racine(97)]/2
->
les nombres sont:
[7 + racine(97)]/2
et
[7 - racine(97)]/2
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Suite.

3)

La question 3 est incomplète, x n'est pas défini.
En supposant que x est la hauteur repliée, on a:

0 <= x <= 12/2
0 <= x <= 6

Le 0 correspondant à la feuille non pliée (la gouttière à donc une hauteur
nulle) et le 6 à la feuille pliée en son axe central et la goutière
n'a ici une largeur nulle.

Si x est la hauteur pliée, la largeur = 12 - 2x.
La longueur est 20 ->
V = 20*x*(12-2x)
V = 240x - 40x²    (en cm³ et à remarquer que les flancs sont ouverts).

Si on veut V = 350 cm³ ->
350 = 240x - 40x²
40x² - 240x + 350 = 0
4x² - 24x + 35 = 0
x = 2,5 et x = 3,5.
Il y a donc 2 solutions:
Soit une hauteur de 2,5 cm (et une largeur = 12 - 5 = 7 cm)
Soit une hauteur de 3,5 cm (et une largeur = 12 - 7 = 5 cm)
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Si on veut un V > 350 cm³ ->
240x - 40x² > 350
240x - 40x² - 350 > 0
40 x² - 240x + 350 < 0
4x² - 24x + 25 < 0
4(x - 2,5).(x-3,5) < 0
(x - 2,5).(x-3,5) < 0
Tableau de signes ->
Il faut donc x dans ]2,5 ; 3,5[.
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4)
R = 4500S / (S + 500)
On aura R > S si:
4500S / (S + 500) > S

Et comme S > 0, on peut diviser les 2 membres de l'inéquation sans
changer le sens ->

4500 / (S + 500) > 1

S + 500 > 0 ->

4500 > S + 500
4000 > S
S < 4000

Donc pour 0 < S < 4000
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Sauf distraction.