Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Algorithme
Bonsoir,
Je sais que je m'y prends assez tard, mais je viens à peine de récupérer mon ordinateur et j'ai un DM de maths qui me pose quelques problèmes...
J'espère que quelqu'un pourra m'aider.
Voilà l'énoncé :
Soit f(x)=x²-20 pour x supérieur ou égal à 0 et C sa courbe représentative dans un repère du plan.
1- Une interprétation graphique
a- Quelle est l'abscisse du point d'intersection de C avec l'axe des abscisses ?
b- Déterminer le point d'intersection de la tangente T à C au point d'abscisse 4 avec l'axe des abscisses. Interpréter graphiquement le fait de prendre 4 ½ (avec les notations d'Euler) comme valeur approchée de racine de 20.
c- Déterminer le point d'intersection de la tangente T' à C au point d'abscisse 4 ½ et de l'axe des abscisses.
d- Comment obtiendrait-on ensuite une nouvelle valeur approchée ?
2- Une méthode algorithmique
a- Soit a un réel de [4;5].
Montrer que la tangente à C au point d'abscisse a coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse :
x=a - f(a)/f'(a) = a/2 + 10/a
b- On prend toujours a=4 comme première valeur approchée de racine de 20.
Donner les trois valeurs approchées suivantes de racine de 20 obtenues à la calculatrice en appliquant la méthode précédente. Les comparer à la valeur approchée de racine de 20 donnée par la calculatrice.
c- Écrire un algorithme donnant les n premières valeurs approchées de racine de 20 (n étant un nombre entier naturel différent de 0) en partant de 4.
J'ai trouvé :
1)
a- x = racine de 20
b- 4,5 mais je ne sais pas trop comment justifier... Est-ce qu'on doit prendre la valeur du graphique ou le faire par le calcul ? Et si on doit utiliser le calcul, je ne sais pas trop comment faire.
Le point d'abscisse 4'5 a pour ordonnée 0. C'est donc une solution de l'équation x²-20=0.
c- 161/36 (mais là encore, je ne sais pas si je dois justifier par le calcul ou non...)
d- Pour ça, j'ai trouvé qu'il faut utiliser un algorithme qu'on nous donne dans l'énoncé de la première partie de l'exercice, soit x=4 17/36 + p, ce qui donne x² = 25 921/1 296 + 8 34/36 p = 20, et résoudre.
2)
a- Là, je ne sais pas trop comment faire. Quelqu'un pourrait m'expliquer, s'il vous plaît ?
b- On obtient 4'5, puis 161/36 (soit environ 4,47222), et environ 4,47213.
La dernière valeur approchée est pratiquement identique à celle affichée par la calculatrice pour racine de 20, à 10^-9 près.
c- L'algorithme que j'ai écrit est plutôt mal expliqué. Mais j'ai pu faire un programme qui tourne bien sur la calculatrice.
Variables : a, b
a prend la valeur 4.
Répéter en boucle :
b prend la valeur a/2 + 10/a.
a prend la valeur b.
En gros, sur ma TI, ça donne :
4->A
Lbl C
(A/2+10/A)->B
Disp B
Pause
B->A
Goto C
Voilà, merci d'avoir pris le temps de me lire. SI quelqu'un pouvait m'aider...
Salut,
je sais que ce topic date d'il y a 2 ans maintenant, mais j'ai exactement le même DM, et cela serait vraiment cool si quelqu'un pourrait m'aider car je désespère !
Bonjour,
Pour les questions 1 a), b) et c) tu ne dois pas justifier car c'est une analyse graphique, pour la d) j'ai une méthode que je t'explique à la fin du message.
Pour la 2 a), on sait que l'équation de la tangente en un point d'abscisse a est: y=f'(a)*(x-a)+f(a). Or le point C a pour coordonnées (a;0) puisqu'il est sur l'axe des abscisse. Et le point C appartient à T donc ses coordonnées vérifient l'équation de la tangente T. On a donc:
f'(a)*(x-a)+f(a)=0
Maintenant on doit remplacer f'(a) et f(a) par leur valeur en fonction de a. On doit donc dériver f(x) puis on calcule f'(a) et f(a) en remplaçant x par a. Je te laisse faire ça. En ayant remplacé dans f'(a)*(x-a)+f(a)=0 les valeurs de f'(a) et f(a) et en simplifiant tu dois obtenir le résultat attendu, à savoir x=a/2 + 10/a.
Pour la 2b), tu dois remplacer a par 4 mais après je ne sais pas trop car le but est d'obtenir une valeur approchée de √20 et moi je pensais faire la méthode par dichotomie qui consiste (pour notre exemple) à prendre 4 et 5 comme premières bornes puis 4 et 4,5 puis 4,25 et 4,5 etc car en réalité √20 vaut environ 4,472135955. Dis moi si cette méthode te semble cohérente avec l'exo et je te l'expliquerai plus en détail...
Merci d'avoir pris le temps de répondre a mon message!
J'ai réussi les questions de la première partie mais je bloque au d) ...
Et pour la 2 b) et c) j'ai absolument pas compris x)
Je ne suis pas sûre d'avoir compris le but de l'algorithme mais je pense qu'il s'agit de déterminer la valeur approchée de 
20. Est-ce que c'est bien ça ?
Je ne comprends pas non plus à quoi correspondent les valeurs approchées suivantes. On commence bien avec a=4 mais après a prend quelle valeur 4.1, 4.5 ? 
J'ai compris, je vais essayer de te l'expliquer le plus clairement possible !! 
1)d) Connaissant le résultat, je peux te dire que l'on doit effectivement concevoir un algorithme. En fait, on sait que dans [4;5] la fonction admet une racine. On sait aussi que f(4)<0 et que f(5)>0 donc la racine appartient bien à cet intervalle et le but de l'algorithme sera de "réduire" cet intervalle pour obtenir une valeur approchée de plus en plus précise. On pourra trouver vers la fin un intervalle comme [4,472135;4,472136]. Est-ce que tu me suis ? 
La valeur approchée de √20, on l'a connaît, c'est 4,472135955. Le but de l'algorithme sera de réduire l'intervalle. Au départ, on a [4;5] ensuite on va le couper en deux et on demandera à l'algorithme si √20 appartient à [4:4,5] ou si cette valeur appartient à ]4,5;5]. Là ça va ?
Annuler
connectez vous