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Algorithme de héron
Bonjour, j'ai un exercice un rendre et je suis vraiment paumée, j'aimerais que quelqu'un puisse m'aider ..
On considère la suite (Un) de terme initial Uo=1 et telle que pour tout entier n
,
Un+1= 1/2(Un+ 2/Un)
i) Démontrer par réccurence que un > 0 pour tout entier naturel n.
ii) Démontrer que pour tout nombre réel x>0 , 1/2(x+2/x) 
2
Indication. On pourra directement étudier le signe de 1/2(x+2/x)-2 ou étudier les variations de la fonction x
12(x+2/x)
(J'ai faites la question avec les variation de x, j'ai trouvé x²+2/2x
iii) en déduire que Un>2 pour tout n1.
Voilà merci beaucoup !
bonsoir,
i)
http://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme_de_Babylone
U0=1 >0
donc 1/U0>0 donc 2/U0>0 donc U0+2/U0>0 donc U1= (1/2)*( U0+2/U0)>0
si Un-1>0 alors
1/Un-1>0 donc 2/Un-1>0 donc Un-1+2/Un-1>0 donc Un= (1/2)*( Un-1+2/Un-1)>0
ou plus classiquement
U0=1 >0
si Un>0 alors
1/Un>0 donc 2/Un>0 donc Un+2/Un>0 donc Un+1= (1/2)*( Un+2/Un)>0
Donc pour tout n Un>0
ii)
x>0 , (1/2)*(x+2/x) 2
x>0 donc peut multiplier par x
(1/2)*(x+2/x) 2
(1/2)*(x²+2)x* 2
(x²+2)2*x* 2
x²+(2)²-2*x* 2 0
(x+2)² 0
et comme un nombre au carré est 0
donc
x>0 , (1/2)*(x+2/x) 2
i) et ii) 
iii)
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