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Analyse Combinatoire - exercice de réflexion

Posté par
mathqr
31-03-14 à 15:45

Bonjour

voilà un autre petit problème que j'ai rencontré dans un exo

"Si 8 tableaux noirs doivent être affectés à 4 écoles, de combien de manières peut-on les répartir ? Qu'en
est-il si chaque école doit recevoir au moins un tableau ? (Les tableaux noirs sont indiscernables)"

voilà ce que j'ai fait :

on peut observer la répartition suivante : chaque école peut avoir soit 8 soit 7 .... soit 0 tableaux.
si la première école a 8 tableau , les autres auront 0 , 0 , 0 ..

donc on a : (s est l'espace fondamentale) S=\lbrace (8,0,0,0) ; (7,1,0,0) ; (7,0,1,0) ; (7,0,0,1) ; ... ; (0,0,0,8) \rbrace

et voilà je suis bloqué ! (en réalité j'ai trouvé le "double" de la bonne réponse ! hhh mais la solution que j'ai vu est très compliquée !)

Posté par
mathqr
re : Analyse Combinatoire - exercice de réflexion 31-03-14 à 15:47

pour vous aider : il ya 165 possibilités

mais je veux savoir comment ils ont trouvé ça !!

Posté par
verdurin
re : Analyse Combinatoire - exercice de réflexion 31-03-14 à 15:57

Bonjour,
il y a un truc, difficile à trouver tout seul. (Je ne l'ai pas inventé).

L'idée est de rajouter 3 séparateurs, disons que + représente un tableau et | un séparateur.
Les répartitions que tu as données seront alors codées
++++++++||| ; +++++++|+|| ; +++++++||+| ; +++++++|||+ ; ... ;|||++++++++

On voit qu'une répartition correspond au choix des trois positions des séparateurs parmi les 11 possibles.

Posté par
mathqr
re : Analyse Combinatoire - exercice de réflexion 31-03-14 à 16:04

Merci verdurin ;

c'est exactement ce qui est écrit dans leur réponse !!

moi j'ai cru qu'il ont inventé ces trucs et c'est pour sa que je cherche une autre solution ..

si cette méthode est utile je vais essayer de comprendre comment utiliser ces "codes" hh

merci beaucoup

Posté par
mathqr
re : Analyse Combinatoire - exercice de réflexion 31-03-14 à 16:16

donc sa correspond a une permutation avec répétition ( de + et | ) :

++++++++|||

11!/(8!*3!) = 165

Posté par
verdurin
re : Analyse Combinatoire - exercice de réflexion 31-03-14 à 16:20

Oui.
On peut aussi dire que l'on choisi trois emplacements parmi onze, c'est pareil.

Posté par
lafol Moderateur
re : Analyse Combinatoire - exercice de réflexion 31-03-14 à 16:39

Bonjour
Moi je m'imagine les choses sous la forme d'un gigantesque casier à cloisons amovibles (un peu comme celui-là, mais assez grand pour mettre jusqu'aux 8 tableaux dans la même case), qui servirait à transporter les tableaux vers les écoles ; on doit donc y placer les 8 tableaux et les 3 cloisons qui vont permettre de savoir quand on arrête de décharger des tableaux pour aller à l'école suivante, une fois sur place.
Le problème revient comme l'a dit verdurin à choisir les emplacements des trois cloisons (ou des huit tableaux, ça revient au même) parmi les (8+3) emplacements disponibles pour tableau ou cloison.
ça s'adapte aux mouchoirs non brodés à répartir dans les tiroirs d'une commode, aux billes indiscernables à répartir dans des urnes numérotées ...

Posté par
F22Raptor
re : Analyse Combinatoire - exercice de réflexion 28-05-21 à 12:10

Bonjour;
   & Désolé de réveiller ce topic qui commence à dater mais je me suis dis qu'il était plus logique de ne pas le faire vu que ma question est une suite du même problème

  Bref voila ma question:
   Qu'en est-il si chaque école doit recevoir au moins un tableau ? (Les tableaux noirs sont indiscernables).

  Voila la réponse qu'ils proposent:

Considérons la représentation
|Å|Å|Å|Å|Å|Å|Å|
où les "|" représentent comme précédemment les tableaux et les sept "Å" représentent les séparations de 8 écoles avec chacune un tableau.  Avec 8 écoles, il n'y a qu'une seule possibilité de placer les 8 tableaux.

Maintenant, considérons les 4 écoles du problème. Il suffit de garder 3 séparations parmi les 7 pour avoir au moins un tableau par école et les 4 tableaux restant distribué aléatoirement. Ce qui donne la combinaison   C^3_7

  Pourquoi  C^3_7  ?

Et merci


P.S: je peux créer un autre post si vous voulez mais j'en vois pas vraiment l'utilité

Posté par
ty59847
re : Analyse Combinatoire - exercice de réflexion 28-05-21 à 13:51

Tu as retrouvé ce post , avec l'explication pour le cas ' 8 tableau pour 4 écoles, sans plus de contrainte', c'est à dire la 1ère question.

En fait, la 2ème question ressemble beaucoup à la 1ère.
Si tu hésites sur la 2ème question, c'est que tu n'as pas compris la réponse à la 1ère question. Tu as lu ce qui était écrit, tu as dit : ok, admetttons ... mais c'est tout.  Du coup, tu es désarmé pour la 2ème question.

Alors revenons à la première question. Explique-moi, essaie de me convaincre que la réponse proposée est la bonne. Explique-moi comme si j'étais un lycéen qui n'a jamais appris les dénombrements.
Si tu arrives à trouver les mots pour me convaincre, tu sauras faire la 2ème question. Et si tu bafouilles 3 trucs ... ce n'est pas suffisant !

Posté par
F22Raptor
re : Analyse Combinatoire - exercice de réflexion 28-05-21 à 15:04

Dans la 1ère question il nous est demandé de calculer de combien de manières on peut répartir les 8 tableaux entre les 4 écoles.

  Il y'a deux points de vue; soit on se met à des écoles, dans ce cas, ça risque d'être un peu long à énumérer tous les  cas (  ( La 1ère peut en prendre 4 puis le reste rien )*4 + La 1ère prend 3 la 2ème 1 etc ....... ).

Par contre si on se met du point de vue d'un tableau, chacun a 4 choix ( 4 écoles ), on pourrait penser que le nombre de possibilités est 4*......*4 = 4^8, mais non car ce calcul va prendre en compte les permutations entre les tableaux, alors que les tableaux sont considérés comme indiscernables.  

  Il faudrait donc une autre manière  de raisonner et cette autre manière c'est celle expliqué en haut, on a 8 tableaux et on utilise 3 séparateurs  pour former 4 groupes ( 4 écoles ). Maintenant il nous faut trouver le nombre de répartitions possibles pour ces séparateurs, on a 8+3 = 11 places où ils peuvent se mettre, ils ont 11 possibilités et 3 chois à faire, 11*10*9 qu'on divise par 3! pour enlever les permutations des trois séparateurs

  Je pense avoir compris   

Posté par
F22Raptor
re : Analyse Combinatoire - exercice de réflexion 28-05-21 à 17:14


  ??

Posté par
ty59847
re : Analyse Combinatoire - exercice de réflexion 28-05-21 à 17:42

Ok, c'est plus ou moins convaincant.
Est-ce que tu vois comment passer à la 2ème question ? Est-ce que tu vois quelle est la petite manipulation à faire, pour dire qu'en fait, c'est 2 fois la même question, avec des valeurs numériques différentes ?

Posté par
F22Raptor
re : Analyse Combinatoire - exercice de réflexion 28-05-21 à 18:08


Q1: Calculer de combien de manières on peut répartir les 8 tableaux entre les 4 écoles.

Q2:  Calculer de combien de manières on peut répartir les 8 tableaux entre les 4 écoles de manière à ce que chaque école reçoive au moins un tableau ?


J'avoue que non...

Posté par
ty59847
re : Analyse Combinatoire - exercice de réflexion 28-05-21 à 18:31

Les tableaux sont indiscernables.
Dans la 2ème question, on commence par distribuer OBLIGATOIREMENT 1 tableau à chaque école. Puis l'exercice commence.  Quel est le nouvel énoncé de l'exercice, si on vient de donner 1 tableau à chaque école ?

Posté par
debrune
re : Analyse Combinatoire - exercice de réflexion 28-05-21 à 19:10

F22Raptor

F22Raptor @ 28-05-2021 à 15:04

Dans la 1ère question il nous est demandé de calculer de combien de manières on peut répartir les 8 tableaux entre les 4 écoles.

  Il y'a deux points de vue; soit on se met à des écoles, dans ce cas, ça risque d'être un peu long à énumérer tous les  cas (  ( La 1ère peut en prendre 4 puis le reste rien )*4 + La 1ère prend 3 la 2ème 1 etc ....... ).

Par contre si on se met du point de vue d'un tableau, chacun a 4 choix ( 4 écoles ), on pourrait penser que le nombre de possibilités est 4*......*4 = 4^8, mais non car ce calcul va prendre en compte les permutations entre les tableaux, alors que les tableaux sont considérés comme indiscernables.  

  Il faudrait donc une autre manière  de raisonner et cette autre manière c'est celle expliqué en haut, on a 8 tableaux et on utilise 3 séparateurs  pour former 4 groupes ( 4 écoles ). Maintenant il nous faut trouver le nombre de répartitions possibles pour ces séparateurs, on a 8+3 = 11 places où ils peuvent se mettre, ils ont 11 possibilités et 3 chois à faire, 11*10*9 qu'on divise par 3! pour enlever les permutations des trois séparateurs

  Je pense avoir compris   


J'ai compris jusqu'à un niveau mais partie séparateur pas vraiment

Posté par
F22Raptor
re : Analyse Combinatoire - exercice de réflexion 28-05-21 à 19:59

ty59847 @ 28-05-2021 à 18:31

Les tableaux sont indiscernables.
Dans la 2ème question, on commence par distribuer OBLIGATOIREMENT 1 tableau à chaque école. Puis l'exercice commence.  Quel est le nouvel énoncé de l'exercice, si on vient de donner 1 tableau à chaque école ?


  Ah je vois je vois ! Effectivement chaque école doit recevoir au moins  1 tableau, du coup pour être " tranquille " on distribue 1 tableau pour chaque école ( les tableaux ne sont pas distinguables donc pas la peine de considérer leurs permutations), puis là le problème se simplifie énormément puisque il ne reste plus qu'à distribuer les 7 tableaux restants sur les 3 écoles, même raisonnement avec la 1ère question et on est bon  

debrune @ 28-05-2021 à 19:10

F22Raptor
F22Raptor @ 28-05-2021 à 15:04

Dans la 1ère question il nous est demandé de calculer de combien de manières on peut répartir les 8 tableaux entre les 4 écoles.


J'ai compris jusqu'à un niveau mais partie séparateur pas vraiment


  On doit distribuer 3 séparateurs parmi  11 possibles positions, pas de répétition et pas d'ordre 11*10*9 / 3!

MAIS vous avez raison à ce moment là ce n'était pas très très clair, mais maintenant ça devrait aller

Et Merci !   




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