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Angles orientés.

Posté par
Thanks 04-01-10 à 23:42

Bonjour à tous. Bonne année J'ai un exercice à faire mais je n'ai pas compris comment le faire ^^' Merci beaucoup de votre aide.

Le but de ce problème est d'tudier l'angle géométrique que forment les deux aiguilles de l'horloge ci-contre, à un heure donnée.

On appelle O le centre du cadran de l'horloge, et I le point du cercle correspondant au "12"
On désigne par t un instant quelconque entre minuit et midi ( t est exprimé en heures, et on a 0t12)
On présente la petit et la grande aiguille d'un pendule par deux vecteur " tournants" vecteur u et vecteur v, et on note
( vecteur OI ; vecteur u) =  et (vecteur OI ; vecteur v) =

1. Exprimez les angles orientés et en fonction de t.

2. Justifiez que, à tout instant on a: (vecteur v ; vecteur u)=-  et déduisez-en une expression de (vecteur v ; vecteur u) en fonction de t

3. a) Justifiez qu'à 7h10 on a t= 43/6, puis exprimez l'angle géométrique ( en degrés) formé par les deux aiguilles à cette heure là
   b) Déterminez à quelle heure, comprise entre 7h et 7h30, les deux aiguilles seront perpendiculaires.

Angles orientés.

Posté par
cailloux Correcteurre : Angles orientés. 05-01-10 à 13:40

Bonjour,

1) Ces angles sont proportionnels au temps:

\alpha(t)=kt

et \alpha(12)=2\pi

donc \alpha(t)=\frac{\pi t}{6}

de même \beta (t)=2\pi t

2) (\vec{v},\vec{u})=(\vec{v},\vec{OI})+(\vec{OI},\vec{u})=\alpha -\beta\;\;[2\pi]

(\vec{v},\vec{u})=-\frac{11\pi t}{6}

3)a) A 7h10: t=7+\frac{10}{60}=\frac{43}{6}

(\vec{v},\vec{u})=-\frac{11\pi}{6}\times \frac{43}{6}=-\frac{473\pi}{36}\;\;[2\pi]

(\vec{v},\vec{u})=-\frac{473\pi}{36}+k\pi avec k\in\mathbb{Z}

On prend k=7 pour obtenir un angle compris entre 0 et \pi:

\widehat{A}=14\pi-\frac{473\pi}{36}=\frac{31\pi}{36}

3)b) (\vec{v},\vec{u})=\frac{\pi}{2}=-\frac{11\pi}{6}\;\;[2\pi]

\frac{11\pi}{6}t=-\frac{\pi}{2}+2k\pi

t=\frac{12k-3}{11} avec 7\leq t\leq 7.5

On prend k=7 et t=\frac{81}{11}

qui correspond environ à 7h21'49''

Posté par
cailloux Correcteurre : Angles orientés. 05-01-10 à 13:46

2 fautes de frappe:

3)a) (\vec{v},\vec{u})=-\frac{473\pi}{36}+2k\pi avec k\in\mathbb{Z}

3)b) (\vec{v},\vec{u})=\frac{\pi}{2}=-\frac{11\pi}{6}t\;\;[2\pi]

qui ne changent rien pour la suite...

Posté par
ThanksAngles orientés. 06-01-10 à 16:32

Merci beaucoup de votre aide

Posté par
ThanksAngles orientés. 07-01-10 à 20:01

Bonjour monsieur je comprend pas quand vous noté que (t)= /6 t. Je comprend pas non plus quand vous vous fetes que (vecteur v, vecteur u)= -11/t je comprend pas comment vous êtes arrivé à ce résultat ;s. Merci pour votre réponse

Posté par
ThanksAngles orientés. 07-01-10 à 20:09

Pour le 3a) pourquoi on prend exactement le nombre 7? :s et pourquoi pour le 3b) on prend 7<t<7.5 ? :s

Posté par
cailloux Correcteurre : Angles orientés. 07-01-10 à 20:44

Re,

Citation :
je comprend pas quand vous noté que (t)= /6 t.


\alpha(t)=kt

Or \alpha(12)=2\pi

Donc 12k=2\pi et k=\frac{\pi}{6}

d' où \alpha(t)=\frac{\pi t}{6}

Citation :
Je comprend pas non plus quand vous vous fetes que (vecteur v, vecteur u)= -11/t


\alpha(t)=\frac{\pi t}{6} et \beta(t)=2\pi\,t

(\vec{v},\vec{u})=\alpha(t)-\beta(t)=\frac{\pi\,t}{6}-2\pi\,t=-\frac{11\pi\,t}{6}\;\;[2\pi]

Citation :
3a) pourquoi on prend exactement le nombre 7?


k\in\mathbb{Z} ce qui siginifie que k est un entier (positif ou négatif).

L' angle géométrique doit être compris entre 0 et \pi

k=7 est l' unique entier tel que -\frac{473\pi}{36}+2k\pi soit compris entre 0 et \pi.

Si tu n' es pas convaincu, essaie avec d' autres valeurs entières pour k ...

Citation :
et pourquoi pour le 3b) on prend 7

L' énoncé nous indique que l' heure est comprise entre 7h et 7h30.

Posté par
ThanksAngles orientés. 07-01-10 à 21:25

merci beaucoup mais enfet pourquoi c'est /6 cela est égale a 30° donc = 30°? je comprend pas pourquoi il faut prendre /6? et pour k=7? je suis sur ce que vous dites est vrai mais est ce que vous avez une méthode pour trouver exactement que k=7? merci beaucoup

Posté par
cailloux Correcteurre : Angles orientés. 07-01-10 à 21:57

Citation :
mais enfet pourquoi c'est /6 cela est égale a 30°


oui 30°

Voyons: c' est une affaire de proportions:

en 12 heures, la petite aiguille décrit un tour soit un angle de 2\pi radian

en 1 heure, elle décrit un angle de \frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6} radian. (ou 30°).

et en t heures, elle décrit un angle de \frac{\pi t}{6} radian.

Citation :
mais est ce que vous avez une méthode pour trouver exactement que k=7?


On a donc 0\leq -\frac{473\pi}{36}+2k\pi \leq \pi

\frac{473}{36}\leq 2k \leq \frac{473}{36}+1

\frac{473}{36}\leq 2k \leq \frac{509}{36}

\frac{473}{72}\leq k \leq \frac{509}{72}

6.56\leq k\leq 7.07

k est un entier donc k=7

Posté par
ThanksAngles orientés. 07-01-10 à 22:46

Merci merci merci Je comprend mieu maintenant

Posté par
cailloux Correcteurre : Angles orientés. 07-01-10 à 22:55

De rien Thanks


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