A I C sont alignés donc (AB , AC) = (AB , IC)

Fais une figure avec I en dehors de [AC]. Est-ce toujours vrai ?

Euh je vois pas vraiment comment I peut entre en dehors de [AC] vu que I est sur [AC] obligatoirement car I et l'intersection des diagonales [AC] et [DB] ..

un peu tordu pais pas impossible

d'accord c'est un peu extrême comme cas .. dans ce cas comment répondre la question 1 ?

Ton approche est correcte, mais si tu veux une étude complète, il va falloir prendre en compte deux cas de figure.

I est sur la droite (AC), donc il existe un réel k tel que
(on suppose bien sur que ABCD n'est pas aplati, donc qu'en aucun cas on n'a A=C)

Si k est positif (ou nul), alors I est sur la demi droite [CA) et c'est le cas que tu as envisagé. Dans ce cas, la relation entre angles orientés est bien celle donnée par ton énoncé, car modulo

Si k est strictement négatif, alors I est sur l'autre demi-droite, et c'est le cas de figure de mon schéma. Dans ce cas là, la relation entre angles orientés est différente de celle de ton énoncé. On aura modulo

Bon, il se trouve que ensuite, on va rajouter un angle plat supplémentaire, ce qui nous permettra de retomber sur nos pieds et d'obtenir la propriété de perpendicularité dans les deux cas de figure.

Mais ne t'inquiète pas : il semble que l'énoncé n'avait pas prévu ce cas. Peut-être considère-t-il que les diagonales du quadrilatère sont les segments et non pas les droites qui joignent les sommets. Dans ce cas, si les segments ont un point d'intersection, alors I est sur le segment [AC] et k est positif.

Tu peux surement te contenter d'étudier uniquement ce cas.

Ou tu peux en mettre plein la vue à ton correcteur (ton prof, je suppose) en envisageant le cas que l'énoncé néglige.

Merci !!

Maintenant pour la question 2) j'arrive pas à retomber sur pourtant j'ai essayé plein de choses avec la relation de Chasles !

Il y a deux propriétés importantes des cercles, vues en 4ième, 3ième, et ça m'embête que tu ne t'y réfères pas.

Je vais te demander de faire quelques recherches, en te donnant des indices :

1) angles inscrits dans un cercle est arcs capables

2) triangles rectangles et diamètre de cercle circonscrit

Faudrait quand même pas que je te fasse ton exercice...

Merci Merci pour l'aide vraiment !

J'abuse encore un peu de votre aide pour la 3), il faut donc prouver que DIJ est isocèle. Pour cela je ne vois pas d'autre moyen que de prouver que l'angle JDI = l'angle DIJ
J'ai beau retourner le probleme dans tous les sens, je trouve vraiment pas Une piste serai la bienvenue...
Merci encore !

C'est justement ce que j'ai fais et toutes les autres propriétés concernent hauteur, médiane, bissectrice .. Or on a aucune information sur ces dernieres. Donc il reste que les angles non ?

Je réalise à lire ta question que tu n'as pas répondu, pas cherché ? à mon message précédent, que je te rappelle ici :

Oui ça j'ai cherché pour la question 2) ce qui m'a amené à JDI = CAB =
Mais aucune utilité pour la question 3) non ?

enfin je veux dire utile pour la 2)a) mais pas pour la b) ...

J'aimerais bien un peu plus de précisions de ta part.

Et bien en fait il suffisait d'utiliser la propriété suivante :

Deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont de même mesure.

Donc comme l'angle intercepte l'arc de cercle BC et que l'angle JDI aussi on a :
JDI =

Tu as utilisé la propriété que je te demandais en 1)

tu la cites de manière incomplète. Interroge-toi justement quand A et D sont de part et d'autre de la droite (BC) : c'est le cas non envisagé par ton exercice, et dans ce cas, les angles inscrits ne sont pas égaux.

Mais bon...

Si tu veux répondre à la question du triangle isocèle, il va falloir utiliser mon indice n° 2)

Non mais je comprends pourquoi utiliser cela vu qu'il n'y a aucun triangle rectangle ...

Eh si, revois la définition dans ton énoncé.

Aaaaaaaaaaaah ! En effet ...
Alors, je pourrais utiliser le fait que dans un triangle rectangle, la mediane relative a l'hypoténuse mesure la moitié de celui-ci.
Et donc du coup DJ=JI et DIJ est isocele.

c'est ça .. ?

Une fois qu'on a mis le doigt dessus, c'est évident, non ?
Il suffisait de lire l'énoncé

Autre approche, qui rejoint les angles inscrits que tu as utilisés pour montrer que

Le cas où les points sont de part et d'autre de la droite supportant le segment :


Les angles et interceptent le même segment [RS]

et n'ont pas même mesure : leur différence (d'angles orientés) équivaut à un angle plat.

Mais alors, si [RS] est un diamètre :


par symétrie, ils sont égaux à près. Et puisque leur différence est elle égale à (à 2 près), on a


Le milieu du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de l'hypoténuse. C'est aussi le centre de gravité et le centre des médiatrices.

D'où la propriété des longueurs égales et des triangles isocèles.

Merci pour toutes ces explications !

Donc finalement on a que (IC , IJ) = /2 - [2]

Et comme on sait que (AB , IJ) = + (IC , IJ) [2]

alors (AB , IJ) = + /2 - [2]
                     = /2 [2]

Donc les droites (AB) et (IJ) sont perpendiculaires !

En tout cas merci pour votre patience j'y serais jamais arrivée seule !

résumé

ABCD quadrilatère vrai (non aplati) inscrit dans un cercle.

I intersection de ses diagonales, situé sur à l'intérieur du quadrilatère, ce qui en fait un quadrilatère non croisé.
J milieu de [CD]
H intersection de (IJ) et de (AB)
mesure de l'angle
mesure de l'angle

On veut montrer que


A et D interceptent l'arc , donc
est une mesure de

J est milieu de l'hypoténuse [CD] du triangle rectangle ICD, donc IJ=JD : le triangle IJD est isocèle en J

Donc
est une mesure de
Donc
est une mesure de (angles opposés par le sommet)

est une mesure de
Donc
Une mesure de est

La somme des angles du triangle AHI étant équivalente à celle d'un angle plat, une mesure de est



Je crois que tu peux laisser tomber le cas du quadrilatère croisé, tu as assez souffert.