salut a tous et bonne annee 2005
il faut démonter que n'a pas de solution sur lR
pour cela je pense qu'il faut passer par l'etude de . Il faut monter que f(x) est tjr positif ou trouver son sens de variation et calculer la valeur minimum qui sera positive.
voila ce que j'ai fait:
f(x)=
f '(x)=
f ''(x)=12x²+6x
a partir de la je fait le tableau de signe de f'' j'en déduit les variations de f' mais je suis bloqué pour avoir une donnée sur f.
Merci de m'aider et si j'ai fait tout faut de m'expliquer pourquoi.
f ''(x)=6x(2x+1)
f ''(x) > 0 pour x dans ]-oo ; -1/2[ -> f'(x) est croissante.
f ''(x) = 0 pour x = -1/2
f ''(x) < 0 pour x dans ]-1/2 ; 0[ -> f'(x) est décroissante.
f ''(x) = 0 pour x = 0
f ''(x) < 0 pour x dans ]0 ; oo[ -> f'(x) est croissante.
Il y a un maximum de f '(x) pour x = -1/2, ce max vaut f '(-1/2) = -3/4 donc < 0.
Il y a un minimum de f '(x) pour x = 0, ce min vaut f '(0) = -1 donc < 0.
lim(x-> +oo) f '(x) = +oo
De tout ce qui précède, on conclut qu'il y a une et une valeur alpha de x pour laquelle f '(x) = 0, cette valeur se trouve dans ]0 ; oo[
On trouve cette valeur soit par approximations successives soit en appliquant la théorie de résolution des équations du 3ème degré.
On trouve alpha = 0,45541004110...
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On a donc:
f '(x) < 0 pour x dans ]-oo ; alpha[ -> f(x) est décroissante.
f '(x) = 0 pour x = alpha
f '(x) > 0 pour x dans ]alpha ; oo[ -> f(x) est croissante.
Il y a un min de f(x) pour x = alpha
f(alpha) = 0,682... > 0
Et donc f(x) > 0 sur R et il n'y a pas de solution réelle à l'équation x^4 + x³ - x + 1 = 0
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Sauf distraction.
merci J-P
as tu une autre solution pour trouver cet alpha sans passer par la resolution d'equation du troisieme degré que je n'ai pas encore vu ?
Bonne année
Tu avais bien commencé avec le calcul de la dérivée seconde et les variations de .
Il faut ensuite dire qu' tel que
(en remarquant que f'(0)<0 et f'(1)>0).
vérifie donc
. On remplacera donc dans la suite 1 par
.
Alors, qui est du mm signe que
(puisque
)
qui est du mm signe que
, qui se trouve être
car
et
.
étant le minimum de
, l'équation
has no solution.
Ce qui me paraît plus simple et mais quand même assez difficile pour un exo de première !
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