Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau première
Partager :

application a la dérivation

Posté par surfer13 (invité) 01-01-05 à 12:32

salut a tous et bonne annee 2005
il faut démonter que x^4+x^3-x+1=0 n'a pas de solution sur lR
pour cela je pense qu'il faut passer par l'etude de  x^4+x^3-x+1. Il faut monter que f(x) est tjr positif ou trouver son sens de variation et calculer la valeur minimum qui sera positive.
voila ce que j'ai fait:
f(x)= x^4+x^3-x+1
f '(x)= 4x^3+3x^2-1
f ''(x)=12x²+6x
a partir de la je fait le tableau de signe de f'' j'en déduit les variations de f' mais je suis bloqué pour avoir une donnée sur f.

Merci  de m'aider et si j'ai fait tout faut de m'expliquer pourquoi.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : application a la dérivation 01-01-05 à 15:12

f ''(x)=6x(2x+1)

f ''(x) > 0 pour x dans ]-oo ; -1/2[ -> f'(x) est croissante.
f ''(x) = 0 pour x = -1/2
f ''(x) < 0 pour x dans ]-1/2 ; 0[ -> f'(x) est décroissante.
f ''(x) = 0 pour x = 0
f ''(x) < 0 pour x dans ]0 ; oo[ -> f'(x) est croissante.

Il y a un maximum de f '(x) pour x = -1/2, ce max vaut f '(-1/2) = -3/4 donc < 0.
Il y a un minimum de f '(x) pour x = 0, ce min vaut f '(0) = -1 donc < 0.

lim(x-> +oo) f '(x) = +oo

De tout ce qui précède, on conclut qu'il y a une et une valeur alpha de x pour laquelle f '(x) = 0, cette valeur se trouve dans ]0 ; oo[

On trouve cette valeur soit par approximations successives soit en appliquant la théorie de résolution des équations du 3ème degré.

On trouve alpha = 0,45541004110...
-----
On a donc:
f '(x) < 0 pour x dans ]-oo ; alpha[ -> f(x) est décroissante.
f '(x) = 0 pour x = alpha
f '(x) > 0 pour x dans ]alpha ; oo[ -> f(x) est croissante.

Il y a un min de f(x) pour x = alpha

f(alpha) = 0,682... > 0

Et donc f(x) > 0 sur R et il n'y a pas de solution réelle à l'équation x^4 + x³ - x + 1 = 0
-----
Sauf distraction.  

Posté par surfer13 (invité)re : application a la dérivation 01-01-05 à 18:58

merci J-P
as tu une autre solution pour trouver cet alpha sans passer par la resolution d'equation du troisieme degré que je n'ai pas encore vu ?

Posté par gilbert (invité)Re et bonne année 01-01-05 à 19:15

Bonne année
Tu avais bien commencé avec le calcul de la dérivée seconde et les variations de f'.
Il faut ensuite dire qu'\exists\alpha\in]0;1[ tel que f'(\alpha)=0 (en remarquant que f'(0)<0 et f'(1)>0).
\alpha vérifie donc 4\alpha^3+3\alpha^2=1. On remplacera donc dans la suite 1 par 4\alpha^3+3\alpha^2.
Alors, \alpha^4+\alpha^3-\alpha+1=\alpha^4+5\alpha^3+3\alpha^2-\alpha qui est du mm signe que \alpha^3+5\alpha^2+3\alpha-1 (puisque \alpha>0 )=-3\alpha^3+2\alpha^2+3\alpha qui est du mm signe que -3\alpha^2+2\alpha+3, qui se trouve être >0 car -3\alpha^2+3>0 et 2\alpha>0.
f(\alpha)>0 étant le minimum de f, l'équation f(x)=0 has no solution.
Ce qui me paraît plus simple et mais quand même assez difficile pour un exo de première !



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1742 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !