Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. PremièreForum de première LimitesTopics traitant de limites [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau première
Partager :

application de la règle sin(x)/x=1 : lim en O de sin(3x)/sin5(x)

Posté par
gaelledubois 14-05-14 à 17:18

Bonjour à tous,

nous avons vu une règle appelée théorême du sandwich, qui dit que lim de x->0 sinx/x =1
Je n'arrive pas à appliquer ce théorême.
Pourriez-vous me donner un modèle de réponse pour ce genre d'exercices? Dans mon livre, le premier énoncé est sin(3x)/sin(5x) (mais si vous préférez me faire un modèle pour un autre énoncé que vous auriez déjà fait, .. c'est très bien aussi, c'est juste pour me débloquer )

merci

Posté par
Togodumnusre : application de la règle sin(x)/x=1 : lim en O de sin(3x)/si 14-05-14 à 17:23

Bonjour,

Pour t'aider : \frac{sin(3x)}{sin(5x)} = \frac{sin(3x)}{3x} \times \frac{5x}{sin(5x)} \times \frac{3x}{5x}.
Tu as tout pour appeler ton "théorème du sandwich".

Posté par
gaelleduboisre : application de la règle sin(x)/x=1 : lim en O de sin(3x)/si 14-05-14 à 18:01

désolée, je ne sais pas comment continuer... que doit-on faire après?

Posté par
Glapion Moderateurre : application de la règle sin(x)/x=1 : lim en O de sin(3x)/si 14-05-14 à 18:10

les deux premiers produits sont de la forme sin a / a avec a tendant vers 0 donc tu sais que ça tend vers 1. J'ose espérer que tu vas également trouver la limite du troisième facteur ?

Posté par
LeDinore : application de la règle sin(x)/x=1 : lim en O de sin(3x)/si 14-05-14 à 18:17

Suite de l'indication de Togodumnus...

f(x) = \dfrac{\sin 3x }{\sin 5x} = \left(\dfrac{\frac{\sin 3x }{3x}}{\frac{\sin 5x }{5x}}\right).\left(\dfrac{3x}{5x}\right) = \left(\dfrac{3}{5}\right).\left(\dfrac{\frac{\sin 3x }{3x}}{\frac{\sin 5x }{5x}}\right)

\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\sin 3x }{3x}} = \lim_{X\rightarrow +\infty} \frac{\sin X }{X}} = 1

\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\sin 5x }{5x}} = \lim_{X\rightarrow +\infty} \frac{\sin X }{X}} = 1

Reste à conclure sur :  \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) = ...

Posté par
LeDinore : application de la règle sin(x)/x=1 : lim en O de sin(3x)/si 14-05-14 à 18:18

Bonjour Glapion .

Posté par
alb12re : application de la règle sin(x)/x=1 : lim en O de sin(3x)/si 14-05-14 à 18:47

salut,
@gaelledubois es-tu certaine que le th du sandwich s'applique dans le cas de la limite en 0 ? (voir premier post)

Posté par
LeDinore : application de la règle sin(x)/x=1 : lim en O de sin(3x)/si 14-05-14 à 18:58

Au fait : SUPER ZUT !!!
J'ai écrit une limite en + l'infini qui est débile...
Il s'agit bien sûr d'une limite en ZERO !

La limite en ZERO...

f(x) = \dfrac{\sin 3x }{\sin 5x} = \left(\dfrac{\frac{\sin 3x }{3x}}{\frac{\sin 5x }{5x}}\right).\left(\dfrac{3x}{5x}\right) = \left(\dfrac{3}{5}\right).\left(\dfrac{\frac{\sin 3x }{3x}}{\frac{\sin 5x }{5x}}\right)

\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin 3x }{3x}} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin 5x }{5x}} = \lim_{X\rightarrow 0} \frac{\sin X }{X}} = 1

Reste à conclure sur :  \lim_{x\rightarrow 0} f(x) = ...

Désolé ...

Posté par
gaelleduboisre : application de la règle sin(x)/x=1 : lim en O de sin(3x)/si 14-05-14 à 20:16

Merci pour toutes vos réponses. Quand je prends la suite du raisonnement de Ledino, est-ce que ça veut dire que lim x->0 f(x) = 1 ? Je ne pense pas que je résonne bien, dans ma tête j'ai fait lim sin3x/x = 1 et lim sin5x/x=1 et 1/1 =1. C'est ça?

Posté par
Togodumnusre : application de la règle sin(x)/x=1 : lim en O de sin(3x)/si 14-05-14 à 20:18

Pas exactement, t'as oublié un terme.

Posté par
gaelleduboisre : application de la règle sin(x)/x=1 : lim en O de sin(3x)/si 14-05-14 à 20:26

ah oui, 1x3/5! Merci beaucoup, je pense que j'ai compris, je vais encore un peu m'entrainer

Posté par
Togodumnusre : application de la règle sin(x)/x=1 : lim en O de sin(3x)/si 14-05-14 à 20:33

Voilà. Bon courage !

Posté par
alb12re : application de la règle sin(x)/x=1 : lim en O de sin(3x)/si 14-05-14 à 20:43

qui coupe le pain ? et le jambon ?

Posté par
LeDinore : application de la règle sin(x)/x=1 : lim en O de sin(3x)/si 14-05-14 à 21:02

C'est vrai que c'est presque "festif" comme mode participatif !

... à la vôtre !

Posté par
alb12re : application de la règle sin(x)/x=1 : lim en O de sin(3x)/si 14-05-14 à 21:24

"nous avons vu une règle appelée théorême du sandwich, qui dit que lim de x->0 sinx/x =1"
je demande à voir la demo ...

Posté par
Togodumnusre : application de la règle sin(x)/x=1 : lim en O de sin(3x)/si 14-05-14 à 21:34

En première, on doit "par magie" dire que x - \frac{x^3}{6} \le sin(x) \le x...

Posté par
Togodumnusre : application de la règle sin(x)/x=1 : lim en O de sin(3x)/si 14-05-14 à 21:35

(Bien-sûr pour x positif, pour x négatif utiliser l'inégalité dans l'autre sens...)

Posté par
alb12re : application de la règle sin(x)/x=1 : lim en O de sin(3x)/si 14-05-14 à 21:47

gaelledubois confirme-t-elle cette demo ? qui semble bien tortueuse pour une eleve de premiere.

Posté par
Togodumnusre : application de la règle sin(x)/x=1 : lim en O de sin(3x)/si 14-05-14 à 21:51

Tant que t'expliques pas que ça provient des premiers termes du DL ça peut encore se faire en première...
Bon après, va savoir si c'est démontré en première... Peut-être en terminale. Et encore.

Posté par
alb12re : application de la règle sin(x)/x=1 : lim en O de sin(3x)/si 14-05-14 à 21:56

on peut trouver la limite de cette maniere mais je doute fort que ce soit ainsi que son prof a prouve la limite de sin(x)/x en 0.
Ce que je crains c'est que gaelledubois ecrive le jour du bac:
d'apres le th du sandwich on a ...

Posté par
Togodumnusre : application de la règle sin(x)/x=1 : lim en O de sin(3x)/si 14-05-14 à 21:58

Oui, théorème du sandwich c'est assez fantasque comme nom...
Mais en effet, en utilisant les deux expressions que j'ai donné et en utilisant le théorème des gendarmes, on peut s'en sortir.

Posté par
alb12re : application de la règle sin(x)/x=1 : lim en O de sin(3x)/si 14-05-14 à 22:01

à mon avis elle confond avec la limite en pus l'infini ...

Posté par
Glapion Moderateurre : application de la règle sin(x)/x=1 : lim en O de sin(3x)/si 14-05-14 à 22:36

Tiens pour moi le sandwich c'était
application de la règle sin(x)/x=1 : lim en O de sin(3x)/si
on dit que l'aire de OHM < Aire de l'arc de rayon x < aire de OIM' et ça donne
cos(x)sin(x)/2 < x/2 < tan(x)/2 et on en tire cos x < sin(x)/x < 1/ cos x le fameux sandwich
les deux gendarmes tendent vers 1 quand on fait tendre x vers 0, et donc sin x / x aussi.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1768 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !