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Application injective

Posté par
FerreSucre
24-02-20 à 21:24

Bonjour, bonsoir, .
J'ai vue sur un autre topic une histoire d'application injective d'une fonction sur un domaine donné.

Par exemple :

f(x) = \sqrt{x²-x}+x

Cette fonction est injective sur sont domaine, ]-\infty;0[U]1;+\infty[
Mais j'ai du mal à comprendre ce à quoi ça correspondrait, f(y) = f(x)
En terme de graphique et d'idées.
J'aimerai bien que l'on m'explique
Voici un graphique de cette fonction par exemple :

(Je savais pas trop au mettre ce topic )

Application injective

Posté par
FerreSucre
re : Application injective 24-02-20 à 21:25

Zut j'ai loupé :
f(x) = \sqrt{x²-x}+x

merci

Posté par
lake
re : Application injective 24-02-20 à 21:43

Bonsoir,

Graphiquement, place un point M_1(x_1,f(x_1)) quelconque sur ta courbe.

Existe-t-il un point de la courbe M_2 distinct de M_1 et de même ordonnée que M_1 ?

Posté par
FerreSucre
re : Application injective 24-02-20 à 21:50

Voici un graphique de l'équation :

\sqrt{x²-x}+x = \sqrt{y²-y}+y

Application injective

Posté par
FerreSucre
re : Application injective 24-02-20 à 21:52

La courbe M_1 est f(x) ?
Et M_2 serait f(y) ??

Posté par
lake
re : Application injective 24-02-20 à 21:54

Ce n'est pas la meilleure manière d'appréhender la chose;

  mais l'ensemble des solutions vérifie x=y ![url][/url]

Posté par
lake
re : Application injective 24-02-20 à 21:56

A 21h52, tu as écrit n'importe quoi...

Posté par
FerreSucre
re : Application injective 24-02-20 à 21:59

Oui je sais mais je comprends pas ce que tu as écrit :

Citation :
     Bonsoir,

Graphiquement, place un point M_1(x_1,f(x_1)) quelconque sur ta courbe.

Existe-t-il un point de la courbe M_2 distinct de M_1 et de même ordonnée que M_1 ?


Qui est M2 et M1 ? Je suis un peu confu

Posté par
FerreSucre
re : Application injective 24-02-20 à 22:00

J'ai juste du mal à m'imaginer ce à quoi ça devrait correspondre graphiquement avec f(x).
C'est flou

Posté par
alb12
re : Application injective 24-02-20 à 22:03

salut,
as tu lu ceci ?

Posté par
lake
re : Application injective 24-02-20 à 22:04

C'est pourtant clair je pense:

Citation :
Graphiquement, place un point M_1(x_1,f(x_1)) quelconque sur ta courbe.

Existe-t-il un point de la courbe M_2 distinct de M_1 et de même ordonnée que M_1 ?


Tu le fais, tu prends le temps de réfléchir sans poster dans les 5 minutes.

Posté par
FerreSucre
re : Application injective 24-02-20 à 22:18

Ah ! Après avoir lu sur Wikipedia :
y ne correspond pas à l'ordonnée ?
Mais plutôt une autre valeur de x ?

f(x) = f(x')

g(x) = x² n'est pas injective car f(-1) = f(1) et -1 \ne 1.

2x + 4 est injective car pour que f(x) = f(x') , alors x = x' obligatoirement ? C'est ça ?

Posté par
FerreSucre
re : Application injective 24-02-20 à 22:22

Et donc revenons à :

f(x) = \sqrt{x²-x}+x

Pour que il existe :

f(x) = f'(x), x = x' obligatoirement ? Faut le démontrer bien évidemment.
Je comprends mieux pourquoi on utilisait y, ça a du sens aussi ! Tout est plus clair maintenant.

\sqrt{x²-x}+x = \sqrt{y²-y}+y

Comment résoudre ceci ?

Posté par
FerreSucre
re : Application injective 24-02-20 à 22:24

Ah ! D'où le fait que f doit être monotone pour être injective ?
Si une fonction est injective ? Y'a des propriétés intéressantes je suppose sur elle ? Comme ses limites peut être ? Merci

Posté par
FerreSucre
re : Application injective 24-02-20 à 23:34

Une fonction injective veut dire que f(x) = k n'a qu'une seule et unique solution dans \R ??

Posté par
FerreSucre
re : Application injective 24-02-20 à 23:47

Donc il faudrait montrer que l'équation :
\sqrt{x²-x}+x = k

Admet qu'une seul solution x.

x² - x = (k-x)^2
x² - x = k²-2kx+x²
-x = k²-2kx
2(k-1)x = k²
x = \dfrac{k²}{2(k-1)}

Il existe donc qu'une seule et unique solution x pour l'équation :

f(x) = k, \forall{k}\in\R

La fonction est donc injective ?
Ça serait ça ? Merci pour votre aide

Posté par
Zormuche
re : Application injective 24-02-20 à 23:55

Bonsoir

Comme dit au dessus, une application injective est une application qui ne repasse jamais deux fois par la même image

Il existe des fonctions injectives non monotones, non continues. Mais si on impose qu'elle soit continue, alors elle est injective si et seulement si elle est monotone

Dans le cas des fonctions réelles, l'injectivité est quasiment la bijectivité (tu sais sûrement ce que c'est vu ton appétence pour les mathématiques)

Tu sais aussi peut-être qu'une application bijective est une application injective et surjective. Dans le cas des fonctions réelles, la surjectivité on s'en fout presque. En effet :

L'application  \begin{array}{rcl}\R & \rightarrow & \R \\ x & \mapsto & x^2\end{array}  n'est pas surjective, mais l'application  \begin{array}{rcl}\R & \rightarrow & \R_+ \\ x & \mapsto & x^2\end{array}  l'est, c'est juste une question de réduire l'ensemble d'arrivée suffisamment

Posté par
Zormuche
re : Application injective 25-02-20 à 00:04

Si je reprends ta fonction  f:\begin{array}{rcl}D & \rightarrow & \R \\ x & \mapsto & \sqrt{x^2-x}-x\end{array}\quad D= ]-\infty , 0] \cup [1,+\infty[

pour vérifier qu'elle est injective, il faut plus précisément vérifier que pour tout  k \in \R
L'équation \sqrt{x^2-x}+x=k admet au plus une solution (donc peut être 0, aux endroits où la fonction ne passe pas, par exemple k=-1)

Si tu vérifies que l'équation a exactement une solution, alors tu auras montré qu'elle est bijective. Mais ce n'est pas le cas en prenant R comme ensemble d'arrivée, faut prendre plus petit

Posté par
FerreSucre
re : Application injective 25-02-20 à 10:18

D'accord !
Au passage je me suis trompé :

\sqrt{x²-x}+x = k, k\in \R
x = \dfrac{k²}{2k-1}

C'est bizzare ce que j'ai fais car si on fait :
f(x) = -1
x = \dfrac{-1}{3}

f(x) = -10
x = \dfrac{100}{-21}

Or f(-5) \approx 0.45 et non -10. ?
Je me suis trompé quelque part ?

Posté par
FerreSucre
re : Application injective 25-02-20 à 10:21

Faut prendre en compte l'ensemble définition de f ?
f(x) \in [0;0.5[U]1;+\infty[ ?

Posté par
alb12
re : Application injective 25-02-20 à 10:31

salut,
tu ecris:

\sqrt{x²-x}+x = k, k\in \R
x = \dfrac{k²}{2k-1}

ces 2 lignes ne sont pas equivalentes.

Posté par
FerreSucre
re : Application injective 25-02-20 à 10:33

Ah car je suis passé au ² à une ligne, k se restreint sur [0;+\infty[ ?

Posté par
alb12
re : Application injective 25-02-20 à 10:35

pour resoudre cette equation correctement, il faut utiliser ce th:


 \\ \sqrt{a}=b\iff(a=b^2$ et $b\geqslant0)
 \\

Posté par
FerreSucre
re : Application injective 25-02-20 à 10:37

Oui, d'accord

Posté par
FerreSucre
re : Application injective 25-02-20 à 11:06

Ducoup dans ma démonstration ça ce cale comment ?

\sqrt{x²-x} = k-x
x²-x = (k-x)²,   k-x \ge 0, x \in \R, k \in [0;+\infty[
???

Ou plutôt :

2(k-0.5)x = k² k \in [0;+\infty[

??

Posté par
alb12
re : Application injective 25-02-20 à 11:10

peux tu utiliser le th cite sans rien ajouter ?

Posté par
lake
re : Application injective 25-02-20 à 11:13

>>FerreSucre,

Avec l'indication d'alb12 à 10h35, tu dois parvenir au résultat suivant:

  L'équation \sqrt{x^2-x}+x=k admet:

     - 1 solution unique \dfrac{k^2}{2k-1} si k\in\left[0,\dfrac{1}{2}\right[\cup[1,+\infty[

    - 0 solution sinon.

On y parvient par un raisonnement/enchainement parfaitement logique.

A toi de t'appliquer.

Posté par
FerreSucre
re : Application injective 25-02-20 à 11:13

Enfaite je sais pas comment le rédiger, car on a :

k-x \ge 0 et x \in ]-\infty;0]U[1;+\infty[

Ducoup je sais pas trop quoi en déduire pour k

Posté par
lake
re : Application injective 25-02-20 à 11:14

Ah! je vous laisse

Posté par
FerreSucre
re : Application injective 25-02-20 à 11:15

Fin d'après le théorème du :
\sqrt{a} = b
a = b², b \ge 0

Sinon il suffirait de prendre l'ensemble de définition de f,
f(x) \in ]0;0,5[U]1;+\infty[
Ainsi k \ in ]0;0.5[U[1;+\infty[

Mais pour passer parfaitement au propre je suis un peu confu

Posté par
alb12
re : Application injective 25-02-20 à 11:22

je fais juste une remarque
si f(x)=t ( t reel) alors x*(t-1)=t^2
si t a un antecedent alors cet antecedent est unique
conclusion t a au plus un antecedent, f est donc injective

mais je te conseille de resoudre l'equation par equivalence surtout si tu n'es pas à l'aise avec ce type d'equation

Posté par
alb12
re : Application injective 25-02-20 à 11:32

Faut-il que je commence la demo ?


 \\ \sqrt{x^2-x}+x=t
 \\ 
 \\ x^2-x=(t-x)^2$ et $t-x\geqslant0
 \\

Posté par
FerreSucre
re : Application injective 25-02-20 à 11:35

Ça j'ai bien compris que le faite de passer au carré mène à 1 antécédents au plus, c'est juste le fait de passer que :
k \in ]0;0.5[U[1;+\infty[

Ce passage là m'embête un peu car on a :

k-x \ge 0, x \in ]-\infty;0]U[1;+\infty[

C'est juste : Comment peut-on en déduire k ?, juste le domaine de définition de f(x) \in ]0;0.5[U]1;+\infty[ suffit ou on peut arriver à cet intervalle pour k avec ce qu'il y a au-dessus ?

Posté par
FerreSucre
re : Application injective 25-02-20 à 11:40

Je suis un peu chiant je sais mdr mais je cherche à mieux comprendre

Posté par
alb12
re : Application injective 25-02-20 à 13:20

Quelle mdr expression mdr de m.... mdr !

continue la demo
x=?? et t-??>=0

Posté par
FerreSucre
re : Application injective 25-02-20 à 13:27

x \in ]-\infty;0]U[1;+\infty[

t - x \ge 0

Si x < 0, t peut être négatif c'est ça qui me bloque.
....

Posté par
alb12
re : Application injective 25-02-20 à 13:36

tu n'as pas repondu à ma question x=??

Posté par
FerreSucre
re : Application injective 25-02-20 à 13:39

Sinon juste dire :

t = f(x), f(x) \in [0;0.5[U]1;+\infty[
Donc t \in [0;0.5[U[1;+\infty[

?? Sa suffirait ?

Posté par
FerreSucre
re : Application injective 25-02-20 à 13:42

x = \dfrac{k²}{2k-1}

k - \dfrac{k²}{2k-1} \ge 0

\dfrac{k²-k}{2k-1} \ge 0

Et ducoup k\in [0;0.5[U[1;+\infty[
En étudiant les limites croissances...
C'est ça ?

Posté par
FerreSucre
re : Application injective 25-02-20 à 13:56

Et donc ça serait rigoureux la deuxième technique ?

Posté par
alb12
re : Application injective 25-02-20 à 14:04

ce qui serait rigoureux ce serait d'ecrire des propositions equivalentes


 \\ \sqrt{x^2-x}+x=t
 \\ 
 \\ x^2-x=(t-x)^2$ et $t-x\geqslant0
 \\ 
 \\ x=\dfrac{t^2}{2t-1}$ et $\dfrac{t(t-1)}{2t-1}\geqslant0
 \\ 
 \\ x=\dfrac{t^2}{2t-1}$ et $t\in\left[0,\dfrac{1}{2}\right[\cup[1,+\infty[
 \\

Ensuite voir quelle etait la question posee

Posté par
FerreSucre
re : Application injective 25-02-20 à 14:18

Ah ouais ! Merci beaucoup tout est plus propre maintenant j'y penserai les prochaines fois.

Posté par
alb12
re : Application injective 25-02-20 à 14:41

Ouah ! une phrase sans mdr ! Chapeau l'artiste !

Posté par
FerreSucre
re : Application injective 25-02-20 à 14:58

Merci merci



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