Bonjour, bonsoir, .
J'ai vue sur un autre topic une histoire d'application injective d'une fonction sur un domaine donné.
Par exemple :
f(x) = \sqrt{x²-x}+x
Cette fonction est injective sur sont domaine,
Mais j'ai du mal à comprendre ce à quoi ça correspondrait,
En terme de graphique et d'idées.
J'aimerai bien que l'on m'explique
Voici un graphique de cette fonction par exemple :
(Je savais pas trop au mettre ce topic )
Bonsoir,
Graphiquement, place un point quelconque sur ta courbe.
Existe-t-il un point de la courbe distinct de
et de même ordonnée que
?
Ce n'est pas la meilleure manière d'appréhender la chose;
mais l'ensemble des solutions vérifie ![url][/url]
Oui je sais mais je comprends pas ce que tu as écrit :
J'ai juste du mal à m'imaginer ce à quoi ça devrait correspondre graphiquement avec f(x).
C'est flou
C'est pourtant clair je pense:
Ah ! Après avoir lu sur Wikipedia :
ne correspond pas à l'ordonnée ?
Mais plutôt une autre valeur de ?
n'est pas injective car f(-1) = f(1) et
.
est injective car pour que f(x) = f(x') , alors
obligatoirement ? C'est ça ?
Et donc revenons à :
Pour que il existe :
,
obligatoirement ? Faut le démontrer bien évidemment.
Je comprends mieux pourquoi on utilisait , ça a du sens aussi ! Tout est plus clair maintenant.
Comment résoudre ceci ?
Ah ! D'où le fait que doit être monotone pour être injective ?
Si une fonction est injective ? Y'a des propriétés intéressantes je suppose sur elle ? Comme ses limites peut être ? Merci
Donc il faudrait montrer que l'équation :
Admet qu'une seul solution .
Il existe donc qu'une seule et unique solution pour l'équation :
,
La fonction est donc injective ?
Ça serait ça ? Merci pour votre aide
Bonsoir
Comme dit au dessus, une application injective est une application qui ne repasse jamais deux fois par la même image
Il existe des fonctions injectives non monotones, non continues. Mais si on impose qu'elle soit continue, alors elle est injective si et seulement si elle est monotone
Dans le cas des fonctions réelles, l'injectivité est quasiment la bijectivité (tu sais sûrement ce que c'est vu ton appétence pour les mathématiques)
Tu sais aussi peut-être qu'une application bijective est une application injective et surjective. Dans le cas des fonctions réelles, la surjectivité on s'en fout presque. En effet :
L'application n'est pas surjective, mais l'application
l'est, c'est juste une question de réduire l'ensemble d'arrivée suffisamment
Si je reprends ta fonction
pour vérifier qu'elle est injective, il faut plus précisément vérifier que pour tout
L'équation admet au plus une solution (donc peut être 0, aux endroits où la fonction ne passe pas, par exemple k=-1)
Si tu vérifies que l'équation a exactement une solution, alors tu auras montré qu'elle est bijective. Mais ce n'est pas le cas en prenant R comme ensemble d'arrivée, faut prendre plus petit
D'accord !
Au passage je me suis trompé :
,
C'est bizzare ce que j'ai fais car si on fait :
Or et non
. ?
Je me suis trompé quelque part ?
>>FerreSucre,
Avec l'indication d'alb12 à 10h35, tu dois parvenir au résultat suivant:
L'équation admet:
- 1 solution unique si
- 0 solution sinon.
On y parvient par un raisonnement/enchainement parfaitement logique.
A toi de t'appliquer.
Fin d'après le théorème du :
Sinon il suffirait de prendre l'ensemble de définition de ,
Ainsi
Mais pour passer parfaitement au propre je suis un peu confu
je fais juste une remarque
si f(x)=t ( t reel) alors x*(t-1)=t^2
si t a un antecedent alors cet antecedent est unique
conclusion t a au plus un antecedent, f est donc injective
mais je te conseille de resoudre l'equation par equivalence surtout si tu n'es pas à l'aise avec ce type d'equation
Ça j'ai bien compris que le faite de passer au carré mène à 1 antécédents au plus, c'est juste le fait de passer que :
Ce passage là m'embête un peu car on a :
C'est juste : Comment peut-on en déduire ?, juste le domaine de définition de
suffit ou on peut arriver à cet intervalle pour
avec ce qu'il y a au-dessus ?
ce qui serait rigoureux ce serait d'ecrire des propositions equivalentes
Ensuite voir quelle etait la question posee
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