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Application injective.

Posté par
matheux14
01-08-20 à 11:12

Bonjour ,

Merci d'avance.

Soit la fonction

g: IR+ --->IR+
       x |---> √x+3

Démontrer que g est injective.

Réponse

g est injective si et seulement si b ∈ IR+ tels que  g(x)=b n'admet aucune solution ou admet une seule solution.

g(x) =b équivaut à √x +3=b

Équivaut à √x=b-3

b ∈ IR+

•Si b <3 , g(x)=b n'admet aucune solution.

• b ≥ 0 , g(x)=b admet une seule solution.

Posté par
malou Webmaster
re : Application injective. 01-08-20 à 11:20

bonjour
relis toi...
de plus, tu n'as rien démontré, tu affirmes..."admet une seule solution" ah oui, pourquoi ? quelle est-elle ? convient-elle ?

Posté par
hekla
re : Application injective. 01-08-20 à 11:23

Bonjour

quelques contradictions  : il existe  des b tels que b\geqslant 0 et b<3

f injective  f(a)=f(b) \Rightarrow\  a=b

Posté par
matheux14
re : Application injective. 01-08-20 à 11:50

Citation :
g est injective si et seulement si b ∈ IR+ tels que  g(x)=b n'admet aucune solution ou admet une seule solution.

g(x) =b équivaut à √x +3=b

Équivaut à √x=b-3

b ∈ IR+

•Si b <3 , g(x)=b n'admet aucune solution car b-3 serait négatif donc S=∅

• b ≥ 0 , g(x)=b admet une seule solution S={(b-3)²}


C'est clair comme çà !!

Mais je trouve plus élégant de faire ainsi
hekla @ 01-08-2020 à 11:23

Bonjour

quelques contradictions  : il existe  des b tels que b\geqslant 0 et b<3

f injective  f(a)=f(b) \Rightarrow\  a=b


f(a)=f(b) équivaut à √a +3 =√b +3

Équivaut à √a=√b

Équivaut à a=b

Donc f est injective .

Posté par
hekla
re : Application injective. 01-08-20 à 12:00

Vous ne répondez pas à ma remarque :  que se passe-t-il pour les  b \in[0~;~3[  ?

Il y a à la fois aucune solution et une solution unique. Ce qui est manifestement peu correct.

Quant à la seconde c'est ce que je vous ai indiqué. C'est souvent ainsi qu'on le démontre

Posté par
hekla
re : Application injective. 01-08-20 à 12:02

Erreur  \sqrt{a}=\sqrt{b} \Rightarrow a=b  la réciproque étant fausse

Posté par
carpediem
re : Application injective. 01-08-20 à 12:13

salut

une autre méthode (sans aucun calcul ... donc infiniment plus élégant ) :

la fonction x --> x + 3 est strictement croissante de [0, +oo[ dans [3, +oo[ donc injective
la fonction x --> x est strictement croissante sur R+ donc sur [3, +oo[ donc injective

or ... donc ...

Posté par
matheux14
re : Application injective. 01-08-20 à 12:32

Citation :
g est injective si et  si b ∈ IR+ tels que  g(x)=b n'admet aucune solution ou admet une seule solution.

g(x) =b équivaut à √x +3=b

Équivaut à √x=b-3

b ∈ IR+

•Si b <3 , g(x)=b n'admet aucune solution car b-3 serait négatif donc S=∅ 1

• b ≥ 0 , g(x)=b admet une seule solution S={(b-3)²} (2)


Ou encore si vous voulez d'après (1) et (2) , g(x)=b admet au plus un antécédent par g

Posté par
matheux14
re : Application injective. 01-08-20 à 12:34

hekla @ 01-08-2020 à 12:02

Erreur  \sqrt{a}=\sqrt{b} \Rightarrow a=b  la réciproque étant fausse


Du coup on la rejete ?

Posté par
hekla
re : Application injective. 01-08-20 à 12:48

Au lieu de « équivaut à »  on écrit « implique  »

12 32  votre message ne change rien.  Si vous dites  :

Si b <3 pas de solution  ou  si b \geqslant \color{red}{3}  solution unique  

donc au plus un antécédent, cela peut se comprendre  

mais certainement pas  \geqslant 0  car que se passe-t-il pour b entre 0 et 3 ?  0 ou 1 ce n'est pas

identique.  On ne peut avoir à la fois 0 et 1 solution pour une même valeur de b

Posté par
matheux14
re : Application injective. 01-08-20 à 13:01

Ok , du coup g est injective ...

Posté par
hekla
re : Application injective. 01-08-20 à 13:08

Oui elle est injective

f injective  f(a)=f(b) \Rightarrow\  a=b


g(a)=g(b) équivaut à \sqrt{a} +3 =\sqrt{b} +3

Équivaut à \sqrt{a}=\sqrt{b}

Équivaut à  implique a=b

Donc g est injective .

Posté par
matheux14
re : Application injective. 01-08-20 à 13:10

Merci

Posté par
matheux14
re : Application injective. 01-08-20 à 13:24

Vous avez oublié de préciser  

'' a et b \in \R+'' ..

Posté par
hekla
re : Application injective. 01-08-20 à 14:39

Il était évident que les réels  a et b appartenaient à l'ensemble de
départ. Dans la rédaction,  il faut indiquer pour tout a tout b appartenant à  \R^+

Posté par
matheux14
re : Application injective. 01-08-20 à 14:44

Ouais !

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