Bonsoir aussi,
Il faut mettre en équation le bénéfice en fonction du nombre x d'unités fabriquées.
Il y aura deux formules selont que x sera Supérieur à 1000 ou pas

Je voulais dire bonsoir usmi. Satané correcteur

Bonjour,
a)Doit-on comprendre que  la 1001 pièce génère 10-2% =9.8 $ ainsi que les suivantes
ou que la 1002 ème ne génère que 9.8-2% =9.604 $.
b) il faudrait connaitre le prix de vente (constant) de chaque unité ou son prix de revient
de la bonne série de 1000.

Exemple  PV=30 bénéfice 10 $  -->PR= 20
hypothèse a) perte constante 2%

Bonjour sanantonio312 et dpi et merci pour vos réponses rapides,

sanantonio, ok, mais je pense quìl me faudra combiner les deux formules pour en obtenir une que je devrai dériver puis la poser = 0  pour caluler un maximum?

dpi, je  n'ai pas d'autres informations  sur l'exercice, donc il doit être travaillé avec ce que nous avons.  A partir de la 1001ème unité incluse il y a 2 cents de perte constante de bénéfice par unité, non pas 2%, c'est à dire 1000cents -2cents = 998cents = 99,8$.
Autrement dit: 1001ème = 99,8$ de bénéfice, 1002ème = 99,8$ de bénéfice, et ainsi de suite.

Je vais éssayer ce soir et je me manifesterai si je reste bloqué.

Bonne journée à vous deux.

bonjour à tous,

Pour chaque unité au delà des 1000 premières, il y a une perte de bénéfice de 2 cents par unité.
selon moi, le bénéfice de chaque unité supplémentaire suit une suite géométrique,
et donc la fonction bénéfice total que l'on peut établir est strictement croissante, donc pas d'extremum, ni de dérivée.

cela me parait logique :
chaque unité supplémentaire vendue génère un bénéfice supplémentaire (positif), même si ce bénéfice unitaire diminue.
la seule chose que l'on puisse dire, c'est que ce bénéfice total plafonne à partir d'une "certaine" quantité...

ou alors une notion de bénéfice marginal, mais...
je rejoins l'avis de dpi, il semblerait qu'il manque des données.

pour être sûr de ne rien rater :
"How many units should be produced each week.......t profit?" manque pas un petit bout ?

ah oui, 2 cents, et pas 2%, désolée
erreur d'interprétation.
je revois ma copie

bonjour à tous
alors soit j'ai rien compris au sujet (_{ce qui est probable}
soit je rejoins carita et le bénéfice est toujours croissant donc plus tu produis plus tu gagnes

en effet si x est le nb d'unités vendues , b(x) le bénéfice
pour x1000  b(x) =10x  (on gagne 10 balles par unité)
pour x>1000 b(x) = 9.98 x (on ne gagne plus que 9.98 balles par unité )
sont b(x) est la réunion de 2 segments de droites croissants
donc maximum à l'infini

Bonjour carita,

non il ne manque rien dans l'enoncé, mais le mot "profit à la fin est un intrus, j'aurai dû relire.  C'est un petit incident de ma part, oups.

L'exercice est à la fin du chapitre " applications of the derivative, applied maximum and minimum problems"

Donc je partais du point de vue que c'est un exercice se rapportant au sujet du chapitre!?

_{salut ciocciu}

bon, ploum ploum, je recommence !

en partant sur une suite arithmétique (et non pas géométrique),
du fait que l'on diminue de 0.02 par unité, et non pas de 2%,
on obtient pour B(x), le bénéfice total, une fonction du second degré.
donc extremum...

bon ...donc j'ai rien compris au sujet ....

usmi, oui, c'est bien dans ce cadre.
je me suis fourvoyée en lisant trop vite l'énoncé au départ.

il faut commencer par modéliser le bénéfice de chaque unité supplémentaire à partir de la 1001ème.
cette fiche peut vous aider Tout ce qui concerne les suites arithmétiques

puis exprimer la fonction B(x)   (= trouver son expression) pour tout x,
en utilisant les formules que vous trouverez sur cette fiche.

mais je vois quand meme pas de suite arithmértique .... Un+1 c'est pas Un-0.02 on enlève pas 2cents au précédent ...enfin en tous cas

_{ciocciu... on a été trois à faire confusion, ça dilue l'intensité de l'erreur}

mais je ne comprends toujours pas ce qui m'échappe ?

U_n+1 c'est pas U_n-0.02   ---- selon moi, oui

Pour chaque unité au delà des 1000 premières, il y a une perte de bénéfice de 2 cents par unité.

à mon sens, si le bénéfice était constant à 9.98 à partir du 1001ème, cela aurait été rédigé ainsi:
"au delà des 1000 premières, il y a une perte de bénéfice de 2 cents par unité."

après, je peux être (encore) à coté !

bon je file à mes fourneaux
++

mouais..... c'est quand même super mal rédigé...effectivement j'ai compris comme usmi ...mais du coup l'exo n'aurait pas grand interêt ...donc carita tu as probablement raison

Merci à tous pour vos "inputs",

bien que débutant, je pense également que carita a raison avec la progression arithmétique. Se rapportant au chapitre, une fonction du 2ème degré donne un sens au devoir.

Je vais essayer ce soir et on verra.

PS: je suis rassuré de ne pas être le seul à avoir eu un point d'interrogation avec cet exercice.

Bonsoir,

comme il fallait s'y attendre, je ne vois toujours pas. J'ai les formules des liens de carita,

   (n(n+1))/2     et       n((2U₀+r(n-1))/2

mais je ne vois pas comment les connecter.  Avec les n je peux obtenir un n^2 mais je reste tout de même bloqué.

Merci pour un coup de pouce ou plus!

bonsoir usmi

petites confusions sur les formules à appliquer.

du moment que c'est vous "créez" une suite numérique (u_n), vous pouvez la définir comme vous le voulez;
en revanche les formules qui vont s'ensuivre seront différentes selon vos choix !

d'où la nécessité de définir clairement la suite (u_n) en question.

par exemple, vous pouvez décider :

- l'indice du premier terme  : 0 ou 1

- et à quoi ça correspond :
** le 1er terme est le 1er article vendu ?
auquel cas on aura  u₁ = u₂ = ..... =   u₁₀₀₀=10  et   u₁₀₀₁=9.98      u₁₀₀₂=9.96     etc.

** ou bien décider que le 1er terme de la suite est le bénéfice du 1001ème article
dans ce cas u₁ = 9.98    u₂ = 9.96       etc

pour la suite de l'explication, je choisis (mais vous pouvez changer !):
soit u_n la suite des bénéfices unitaires à partir du 1001ème article.

ainsi
u₁ = 9.98 est le premier terme de la suite; il représente le bénéfice du 1001ème article
u₂ = 9.96 est le second terme de la suite; il représente le bénéfice du 1002ème article
etc.

la suite des u_n est donc une suite arithmétique de 1er terme u₁=9.98 et de raison r = ...?

d'où, le terme général u_n = u₁ + r(n-1)  = u_n = 9.98 - 0.02(n-1) = ...   on peut simplifier

---

partant de là, pour connaitre le bénéfice réalisé par la vente du 1001ème (soit u₁) au (1000+n)ième (soit u_n) articles,
on utilise la formule générale de la somme des n termes d'une suite arithmétique, à savoir :

somme = nombre de termes * (1er terme + dernier terme) / 2
somme = n * (u₁ + u_n) / 2 = .....

----

on pourra ensuite définir la fonction B, bénéfice total (les 1000 premiers articles + les x suivants)
B(x) = .....
étudier sa variation,
et rechercher pour quelle quantité de x produits (après 1000) on aura un maximum.

---

il y a donc plusieurs façons d'aborder et résoudre l'exercice !
il y en a même une qui ne prend pas plus de 10 secondes... mais dans ce cas...  plus d'exercice !  

_{désolée pour la tartine, j'ai tendance à beaucoup aérer mon speech}

Bonsoir carita et merci pour votre réponse,

votre explication est bien détaillée, moi j'ai besoin de vos "tartines", mais même avec elles je n'avance pas, en ce moment.

J'ai déja fait plusieurs tentatives sur mon brouillon , par exemple

S= n(9,98+9,98-0,02(n-19)/2 ,

mais j'ai toujours deux inconnues: n Et S ?

C'est le nombre de termes n,  que je dois trouver, pour calculer la somme, trouver  une fonction B(x) et ajouter le bénéfice des 1000 premiers=10000€, avant de travailler avec.

Je crois que je ne vois que l'arbre qui cache la forêt!

Désolé, petite faute de frappe dans la formule   ....(n-1)/2 et non pas (n-19)

bonjour,

oui, c'est bien ainsi, vous avez presque terminé :  S= n(9,98+9,98-0,02(n-1))/2

en réduisant cette expression, on arrive à S = -0.01n² + 9.99 n
cette somme est le bénéfice obtenu par la vente du 1001ème article au (1000+n)ième articles

pour la fonction bénéfice, on peut choisir d'ajouter (ou pas) les 10000$.

pour l'exercice,
choisissons d'établir la fonction bénéfice total, i.e. le bénéfice obtenu pour la vente de tous les articles.
ainsi
B(x) = bénéfice des 1000 premiers articles (à 10$ chacun) + S (pour les suivants)

B(x) =  -0.01x² + 9.99x + 10000, où x représente la quantité vendue après les 1000 premiers.

fonction du second degré, définie sur [0;+[;
étudier sa variation et son extremum.

bonne journée !

Bonjour carita et merci pour vos informations.

j'ai essyé cette nuit et j'ai trouvé B(x)= -0,02n^2+19,98+20000.

J'avais oublié de réduire

Comme quoi, la nuit c'est fait pour dormir

Je poste mon résultat dès que j'aurai fini.

Bon week-end.

  
+19,98*n bien sûr!

Bonsoir carita,

les visites sont parties et je reviens à mes "moutons"

Comme c'est un exercice d'application des dérivées dans mon livre, j'ai procédé de la manière suivante:

B(x) = 0,01*x^2+9,99*x+10000    donc
B'(x) = -0.02*x+9,99  
pour B'(x)=0  on a x=499,5    possible extremum
B''(x) =-0,02  =<0   pas de point d'inflection, courbe concave vers le bas et x=499,5 admis comme maximum
mettre x= 499,5 dans B(x) = 12495,003  d'où extremum à  (499,5, 12495,003)

Ce qui donnerait un nombre total d'unités à produire chaque semaine de 13495 unités, pour obtenir un maximum de bénéfice .

J'ai fait un petit tableau de variations, je ne sais pas s'il est complet, au sens mathématique strict?

et je ne sais pas encore insérer les symboles comme  + ou - l'infini, flêche montante, etc...

Voilà , merci pour votre réponse et bon dimanche soir.

bonsoir usmi

B(x) = 0,01x²+9,99x+10000   ---- fonction second degré
B'(x) = -0.02x+9,99  
B'(x)=0  pour  x=499,5    possible extremum

il est inutile de calculer la dérivée seconde ici : la courbe est une parabole,
donc pas de point d'inflexion, seulement un extremum.

variation de B :



la fonction est croissante puis décroissante, on a donc un maximum.
ce maximum est atteint en x=499.5 pour un bénéfice maximal de 12495$.

dans le contexte,
- la ligne des x représente le nombre d'articles (après les 1000 premiers, comme défini au début)
- ce nombre d'article est un nombre entier, donc soit 499, soit 500
(symétrie de la parabole par rapport à l'axe x=499.5)
- la ligne de B(x) représente le bénéfice en $, selon les quantités.

Combien d'unités doivent êtres fabriquées chaque semaine pour obtenir le plus grand bénéfice?  
réponse : 1000 + 499 = 1499 articles.    (ou 1500),  et le bénéfice maximal sera alors de  12495$.

---

remarque : l'exercice était de mettre en application les dérivées, on a donc suivi cette piste.
mais la fonction étant du second degré, on dispose d'outils plus ciblés pour l'étude de telles fonctions,
qui évitent de calculer la dérivée, et donnent rapidement variation et extremum.

voir ici : Fonction polynôme de degré 2 et parabole

... en avant pour d'autres challenges

bonne soirée !

_{décidément, ce n'est pas mon jour, je cumule les bourdes depuis ce matin ! :/}

variation de B :

bonsoir carita et merci pour votre réponse,

vous n'êtes pas la seule à faire des bourdes aujourd'hui!
J'ai tout mélangé, les x et les y...

C'est bien sûr les 499 ou 500 unités, puisqu'on ne fabrique pas de demi unités!
je les ai mis dans mon tableau sur la ligne des x.
C'est bien ce que j'aurai dû écrire.

Je me disais 13 495 unités ce n'est pas possible!
Au lieu d'ajouter les 1000 aux 499, je les ai ajouté au bénéfice maximal, rien à voir.

Mais voilà, j'ai voulu faire vite, je n'ai pas contrôlé ce que j'avais écrit et tout est faux.
Il faut que je m'applique plus et que je me prenne le temps!

Par curiosité, pourriez-vous me dire qeulle est la méthode que vous avez évoquée plus haut?
"il y a donc plusieurs façons d'aborder et résoudre l'exercice !
il y en a même une qui ne prend pas plus de 10 secondes... mais dans ce cas...  plus d'exercice !"

oui, il y a des jours comme ça où l'étourderie est de mise...
pas grave, on n'est pas des machines, et tant mieux.

on sait que chaque unité supplémentaire (après 1000) va générer un bénéfice supplémentaire, positif,
et donc qui augmente le bénéfice total (la fonction B est donc croissante à ce moment-là)...
... jusqu'au moment où ce bénéfice unitaire supplémentaire devient négatif  (à force d'enlever 2cents..!)
et là, le bénéfice total B va décroitre.

le "cap" est donc la valeur de x qui annule le bénéfice unitaire, soit
u_n = 0
10-0.02n = 0
n = 500 --> après le 500ème article fabriqué (toujours après les 1000 premiers), le bénéfice unitaire sera négatif, et donc la fonction B devient décroissante.

d'où 1000+500=1500.

C'est évident! Et simple, quand on SAIT !
Il faut juste savoir faire le bon raisonnement et savoir poser 10-0.02n=0

Merci beaucoup.:)