Fiche de mathématiques
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Fonction polynôme de degré 2

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Programme conforme au BO du 23 juillet 2009

La fonction carré

Définition
La fonction  f définie sur R par : f(x)=x^2 est appelée fonction carré

Sens de variation de la fonction carré
La fonction f\,:x\mapsto x^2 est décroissante sur ]-\infty ; 0] et croissante sur [0\,;+\infty[


Son tableau de variations est :
\begin{array} {|c|cccccc|} \hline x & -\infty & & 0 & & +\infty & \\ \hline {f(x)} & & \searrow &_{0}& \nearrow & & \\ \hline \end{array}

Représentation graphique de la fonction carré
Dans un repère orthogonal d'origine O, la représentation graphique de la fonction carré est appelée parabole.
L'origine O est le sommet de cette parabole.


Propriété : on montre que dans un tel repère, cette parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
En effet, pour tout x de R , f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)

Fonction polynôme de degré 2 et parabole : image 5

Les fonctions polynômes de degré 2

Définition
Soit {\magenta{ a}} , b et c trois réels avec  {\magenta{ a}} non nul.
La fonction f définie sur R par f(x) = {\magenta{ a}}x^2+bx+c est appelée fonction polynôme du second degré.
f(x) = {\magenta{ a}}x^2+bx+c est la forme développée du polynôme f(x).
Sa courbe représentative est une parabole P

Théorème
Pour tout réel x\quad  f(x)={\magenta{ a}}(x-{\red{\alpha}})^2+{\blue\beta}
{\red{\alpha}} = -\dfrac{b}{2{\magenta{ a}}} et {\blue\beta}=f({\red{\alpha}}) sont l'abscisse et l'ordonnée du sommet S de la parabole P
Cette écriture est la forme canonique du polynôme f(x).

Variations de  f

si {\magenta{ a}}> 0 alors le tableau de variation de f est :
\begin{array} {|c|cccccc|} x & -\infty & & \red{\alpha}} & & +\infty & \\ \hline {f(x)} & & \searrow &_{\blue{\beta}}} & \nearrow & & \end{array}

L'extremum {\blue\beta} est le minimum de f, et a lieu en x={\red{\alpha}}

si {\magenta{ a}}< 0 alors le tableau de variation de f est :
\begin{array} {|c|cccccc|} x & -\infty & & \red{\alpha}} & & +\infty & \\ \hline {f(x)} & & \nearrow &_{\blue{\beta}}} & \searrow & & \end{array}

L'extremum {\blue\beta} est le maximum de f, et a lieu en x={\red{\alpha}}

Représentation graphique de f
Dans un repère orthonormal, la représentation graphique de f est une parabole de sommet S({\red{\alpha}}\;;{\blue\beta})

Fonction polynôme de degré 2 et parabole : image 6


La droite passant par le sommet S et parallèle à l'axe des ordonnées est axe de symétrie de la parabole.

Exemple

Soit f la fonction polynôme définie sur R par f(x)=2x^2-6x+2,5
Représenter graphiquement la courbe de f dans un repère orthogonal du plan.

f(x)=2x^2-6x+2,5 est du type f(x)=ax^2+bx+c avec a=2 ; b=-6 et c=2,5

f est donc un polynôme du second degré dont la courbe représentative est une parabole;
a= 2 ; donc a>0 et on obtient une parabole "tournée vers le haut"

Avec les notations utilisées ci-dessus, \alpha = \frac{-b}{2a}=-\frac{-6}{4}=\frac 3 2 et \beta=f\left(\frac 3 2\right)=2\left(\frac 3 2\right)^2-6\left(\frac 3 2\right)+2,5=-2
Donc la parabole admet pour sommet S\left(\frac 3 2\; ; -2\right). On complète en prenant quelques valeurs pour obtenir un tracé plus précis.
Son tableau de variations est donc :
\begin{array} {|c|cccccc|} x & -\infty & & \frac 32 & & +\infty & \\ \hline {f(x)} & & \searrow &_{-2} & \nearrow & & \end{array}


La fonction est décroissante sur ]-\infty\;;\;\frac 3 2] et croissante sur [\frac3 2\;;\;+\infty[.

Elle admet donc un minimum, ici -2 , minimum qui est atteint pour x=\frac 3 2


Fonction polynôme de degré 2 et parabole : image 3
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