La fonction définie sur R par : est appelée fonction carré
Sens de variation de la fonction carré
La fonction est décroissante sur
et croissante sur
Son tableau de variations est :
Représentation graphique de la fonction carré
Dans un repère orthogonal d'origine O, la représentation graphique de la fonction
carré est appelée parabole.
L'origine O est le sommet de cette parabole.
Propriété : on montre que dans un tel repère, cette parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
En effet, pour tout de R ,
Les fonctions polynômes de degré 2
Définition
Soit , et trois réels avec non nul.
La fonction définie sur R par est appelée fonction polynôme du second degré.
est la forme développée du polynôme .
Sa courbe représentative est une parabole P
Théorème
Pour tout réel où et sont l'abscisse et l'ordonnée
du sommet S de la parabole P
Cette écriture est la forme canonique du polynôme .
Variations de
si alors le tableau de variation de est :
L'extremum est le minimum de , et a lieu en
si alors le tableau de variation de est :
L'extremum
est le maximum de , et a lieu en
Représentation graphique de
Dans un repère orthonormal, la représentation graphique de est une parabole de sommet
La droite passant par le sommet et parallèle à l'axe des ordonnées est axe de symétrie de la parabole.
Exemple
Soit la fonction polynôme définie sur R par Représenter graphiquement la courbe de dans un repère orthogonal du plan.
est du type avec ; et
est donc un polynôme du second degré dont la courbe représentative est une parabole;
a= 2 ; donc et on obtient une parabole "tournée vers le haut"
Avec les notations utilisées ci-dessus, et Donc la parabole admet pour sommet . On complète en prenant quelques valeurs pour obtenir un tracé plus précis.
Son tableau de variations est donc :
La fonction est décroissante sur et croissante sur .
Elle admet donc un minimum, ici -2 , minimum qui est atteint pour
Publié par malou
le
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} & & \searrow &_{0}& \nearrow & & \\ \hline \end{array})
de R , =(-x)^2=x^2=f(x))
alors le tableau de variation de 
est :
} & & \searrow &_{\blue{\beta}}} & \nearrow & & \end{array})
est le minimum de 
alors le tableau de variation de } & & \nearrow &_{\blue{\beta}}} & \searrow & & \end{array})
et parallèle à l'axe des ordonnées est axe de symétrie de la parabole.
la fonction polynôme définie sur R par =2x^2-6x+2,5)
=ax^2+bx+c)
avec 
; 
et 
et on obtient une parabole "tournée vers le haut"
et =2\left(\frac 3 2\right)^2-6\left(\frac 3 2\right)+2,5=-2)
)
. On complète en prenant quelques valeurs pour obtenir un tracé plus précis.
} & & \searrow &_{-2} & \nearrow & & \end{array})
![]-\infty\;;\;\frac 3 2]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-\infty\;;\;\frac 3 2])
et croissante sur 
.
=x^2)
est appelée fonction carré
est décroissante sur ![]-\infty ; 0]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-\infty ; 0])
et croissante sur 
,
et 
trois réels avec 
non nul.
 = {\magenta{ a}}x^2+bx+c )
est appelée fonction polynôme du second degré.
)
.
={\magenta{ a}}(x-{\red{\alpha}})^2+{\blue\beta})
et )
sont l'abscisse et l'ordonnée
du sommet S de la parabole P
)
Voir la correction