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Applications linéaires

Posté par
barka54
09-06-20 à 15:40

Bonsoir,
Pouvez vous m'aider avec cet exercice dont l'énoncé est:
E est un plan vectoriel dont une base est B=(i;j). Soit f l'endomorphisme de E défini par f(i)=cos(2a)i + sin(2a)j et f(j)=sin(2a)i + cos(2a)j où a est un réel appartenant à ]-π;π].
A-1) Déterminer la matrice A de f dans la base B.
2) Déterminer les valeurs de a pour lesquelles f n'est pas un endomorphisme de E.
B) Dans la suite, on donne a=3π/8
1)Montrer que ker f est une droite  vectorielle dont une base est e1=√2i+√2j.
2) Montrer que l'ensemble G des vecteurs u de E tels que f(u)=-√2u est une droite vectorielle dont une base est e2=i-j
3) Soit B'=(e1;e2).
a) Montrer que B' est une base de E.
b)Déterminer la matrice A' de f dans la base B'.

excusez moi, i, j, u , e1 , e2 sont écrits avec des →

Voici ce que j'ai fait:

A-1) La matrice A est:
(cos(2a)................sin(2a)
.
.
sin(2a)..................cos(2a)

2) f n'est pas un automorphisme de E ssi le determinant de A est égal à 0.
=> cos²(2a)-sin²(2a)=0
je trouve d'une part a=π/8 + kπ/4 avec k appartenant à l'ensemble{-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;} et d'autres part a=-π/8 + kπ/4 avec  k appartenant à {-3;-2;-1;0;1;2;3;4}.
Donc pour  ''a '' équivalent à ces valeurs d'angles, f n'est pas un automorphisme car il ne serait pas bijectif.
B)1)
Le ker f est l'ensemble des vecteurs de E dont l'image par f est nulle. Ainsi, déterminer le ker f reviendrait à résoudre le système:
{(-√2/2 )x + (√2/2)y=0
{ (√2/2 )x  -  (√2/2)y=0
qui est est équivalente à une équation
(celle d'une droite)
=> (√2/2 )x  -  (√2/2)y=0
=>x√2=y√2
x=y ; pour x=√2 alors y=√2
Donc le ker f est une droite vectorielle engendrée par e1(√2;√2).
2) cette question qui me bloque ...
j'ai pris v(x;y) dont l'image par f est v'(x';y') mais j'y arrive pas...

Posté par
Zormuche
re : Applications linéaires 09-06-20 à 17:44

Bonjour

On sait déjà que cet ensemble G est un sous-espace vectoriel (puisqu'il peut s'exprimer comme un noyau, celui de  f+\sqrt{2}\operatorname{id})

Montrer que \operatorname{Vect}(e_2)\subset G est assez simple, ensuite G est forcément de dimension 1 ou 2. Le but serait de montrer qu'il est de dimension 1, auquel cas il serait égal forcément à \operatorname{Vect}(e_2)

Posté par
barka54
re : Applications linéaires 09-06-20 à 20:03

Je sais vraiment pas pas comment montrer que e2 est inclue dans l'ensemble G....
f(e2)=-√2(e2)

Posté par
Zormuche
re : Applications linéaires 09-06-20 à 20:10

C'est Vect(e2), pas e2, c'est-à-dire le sous-espace vectoriel engendré par e2 (ici, la droite vectorielle)
Tu as vu la notion de sous-espace vectoriel engendré ?
J'avoue que je suis surpris que tu voies les espaces vectoriels en 1ère, mais soit

ce que je te propose c'est une méthode qui raisonne sur la dimension des espaces vectoriels. Tu as étudié la dimension finie dans les espaces vectoriels ?

Sinon, on peut le faire de façon analytique mais c'est plus fastidieux

Posté par
Zormuche
re : Applications linéaires 09-06-20 à 20:11

Pour montrer l'inclusion, tu dois montrer que tout élément de Vect(e2) est dans G
C'est quoi par définition un élément de Vect(e2) ?

Posté par
barka54
re : Applications linéaires 09-06-20 à 20:25

Ou bien,  puis je aussi faire de la sorte: u'(x';y') est image de u(x;y) (appartenant à E) par f.
√2(u)=(x√2;y√2) .
le produit matriciel A×(√2(u)) equivaut à u'(x';y')
Ainsi je trouve  {x'=-x+y
                                   {y'=x-y
La somme membre à membre conduit à x'+y'=0 qui est l'équation d'une droite => y'=-x' pour x'=1 , y'=-1 est ce qu'on peut donc dire que cette est générée par un vecteur de coordonnées (1;-1)=e2 dans la base (i;j) ??

Posté par
barka54
re : Applications linéaires 09-06-20 à 20:26

Zormuche @ 09-06-2020 à 20:11

Pour montrer l'inclusion, tu dois montrer que tout élément de Vect(e2) est dans G
C'est quoi par définition un élément de Vect(e2) ?
un élément de vect(e2) serait-il dans la même base que e2?

Posté par
barka54
re : Applications linéaires 09-06-20 à 20:43

Zormuche @ 09-06-2020 à 20:10

C'est Vect(e2), pas e2, c'est-à-dire le sous-espace vectoriel engendré par e2 (ici, la droite vectorielle)
Tu as vu la notion de sous-espace vectoriel engendré ?
J'avoue que je suis surpris que tu voies les espaces vectoriels en 1ère, mais soit

ce que je te propose c'est une méthode qui raisonne sur la dimension des espaces vectoriels. Tu as étudié la dimension finie dans les espaces vectoriels ?

Sinon, on peut le faire de façon analytique mais c'est plus fastidieux
Non je n'ai pas encore étudié la dimension finie dans les espaces vectoriels ...Nous étudions juste l'introduction de l'étude...je pense

Posté par
Zormuche
re : Applications linéaires 09-06-20 à 20:49

je vois, alors la façon "normale" de faire est mieux, c'est celle que tu as fait pour la question précédente, avec le système d'équations

Posté par
Zormuche
re : Applications linéaires 09-06-20 à 20:53

Je trouve aussi x=-y, mais les calculs sont différents, où sont passés tous les  \sqrt{2}  ?

Posté par
barka54
re : Applications linéaires 09-06-20 à 21:19

Zormuche @ 09-06-2020 à 20:53

Je trouve aussi x=-y, mais les calculs sont différents, où sont passés tous les  \sqrt{2}  ?
En effectuant le produit matriciel j'ai multiplié √2 par √2/2 et -√2/2 ce qui me donnait 1.

Posté par
barka54
re : Applications linéaires 09-06-20 à 21:20

et -1

Posté par
co11
re : Applications linéaires 09-06-20 à 21:35

Bonsoir,
Concernant ta réponse à A) 2)

Citation :
je trouve d'une part a=π/8 + kπ/4 avec k appartenant à l'ensemble{-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;} et d'autres part a=-π/8 + kπ/4 avec  k appartenant à {-3;-2;-1;0;1;2;3;4}.

Les deux "groupes" de solutions sont les mêmes, donc un seul suffit.
Cela dit, je ne sais pas comment tu as mené ta résolution.
Pour B) 2) ce n'est pas très compliqué de résoudre le système correspondant à f(u) = - 2 u. Il sera peut-être pas mal de simplifier par 2 ....

Posté par
co11
re : Applications linéaires 09-06-20 à 21:37

Ah ah, comme souvent j'arrive un peu tard ... Enfin pas pour A)2),

Posté par
barka54
re : Applications linéaires 09-06-20 à 21:47

3. ) j'ai calculé le determinant de B'=-2√2 donc le système n'est pas un ensemble de vecteurs liés par conséquent, c'est une base.
b) j'ai résolu l'équation pour e1 et e2.
{e1=√2i+√2j
{e2=i-j
J'ai trouvé i=(√2)/4 e1+½e2 et     j=(√2)/4 e1 - ½e1.
Ainsi f(e1)=(-√2)/2e2 et f(e2)=(√2)/2
D'où la matrice A'

(0.................... .....................0)


(-√2/2......................√2/2)

Posté par
barka54
re : Applications linéaires 09-06-20 à 21:51

co11 @ 09-06-2020 à 21:35


Les deux "groupes" de solutions sont les mêmes, donc un seul suffit.
okay , d'accord

Posté par
co11
re : Applications linéaires 09-06-20 à 22:35

Pour B) 2) je ne comprends pas trop ce que tu as fait : pourquoi passer par i et J ?
Tu sais que f(e1) = 0 et f(e2) = - 2 e2
Et la matrice A' de f dans la base (e1, e2)  est censée donner, en colonnes, les coordonnées de f(e1) et f(e2) dans la base (e1, e2)
Ou bien j'ai beaucoup oublié ?

Posté par
barka54
re : Applications linéaires 09-06-20 à 23:00

Oh oui, franchement j'ai beaucoup oublié
e1 appartient au ker f donc f(e1)=0
f(e2)=-√2e2 Donc
A' est
(0    0)
(0  -√2)

Posté par
barka54
re : Applications linéaires 09-06-20 à 23:17

Merci beaucoup à vous...pour vos aides si sublimes!

Posté par
co11
re : Applications linéaires 10-06-20 à 21:36



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