Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Approximation affine
Bonjour, je viens de m'attaquer a la dérivation et plus précisément au chapitre "Approximation affine et méthode d'Euler". Je voudrais donc savoir si mon raisonnement est bon à l'exercice suivant (qui doit sûrement être trivial mais je fais ces chapitres pour ma 1ereS de moi-même sans prof donc je débute, soyez indulgent svp :p ) :
b) Déterminer l'approximation affine de f(1+h) pour h proche de 0, associée à f.
Donc j'ai simplifié le taux de variation de f en le point d'abscisse 1 et prouvé que ca admettait une limite en h->0 et j'ai dérivé f en 1. Je trouve f'(1)=1/2
Donc l'approximation affine de f(1+h) est 1 + (1/2)h.
f(1+h) 
1+ (1/2) h ?
Le tend vers 0 quand h tend vers 0.
Comme son nom l' indique (approximation affine), on approxime par
en négligeant le terme en
que l' on ne calcule pas.
Par exemple: est approximé par
La calculette donne la valeur 1.001998004... La différence (très faible) correspond au
En fait ce que tu fais là c'est un développement limité du premier ordre, qu'on appelle approximation affine, en gros on "remplace" ta fonction par un polynôme qui se comporte de la même façon au voisinage de 0.
Voilà:
Au voisinage du point d' une courbe représentative d' une fonction
, on confond la courbe et la tangente en ce point:
Merci beaucoup pour le dessin cailloux. Mais c'était vraiment pas la peine de te donner tant de mal, j'ai le même dessin sur mon manuel. En tout cas, c'est très gentil de ta part!
Sinon, infophile, ca consiste en quoi le développement limité ? Ca sert a quoi l'approximation affine a part tracer la courbe et avoir les valeurs approximativement ?
Salut Bardamu,
Un développement limité (ou DL) d'une fonction f au voisinage d'un point a est l'écriture de cette fonction sous la forme d'un polynôme et d'un reste qui devient très petit quand on se rapproche du point a. Ce qui permet de trouver des limites entre autre. L'approximation affine c'est un développement limité au premier ordre, et permet d'approcher la courbe par sa tangente. Ensuite à l'ordre 2 on approche la courbe par une parabole...etc
L'existence de tendant vers 0 dans ce développement est en fait une définition possible de la dérivabilité de f en 1.
On passe de la définition lycée de la dérivabilité en terme de limite à cette existence en posant tout simplement:
D'autre part, si , par une intégration par parties, on peut obtenir:
Annuler
connectez vous