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Approximation affine de la fonction inverse
Bonjour,
Je poste ce topic pour la rédaction. Merci de me dire si c'est correct.
Énoncé (exercice 27)
1) f est la fonction inverse 1/x définie sur 
*
Donnez l'approximation affine locale de f(1 + h)
2) Déduisez-en des approximations de 1/1.01 ; 1/0.99 ; -1/1.02
3) En vous servant de ce qui précède, donnez des approximations de 1/3.03 ; 1/4.995 ; (-9.999)-1
Voilà, je poste à la suite. 
1) f est la fonction inverse 1/x définie sur *
Donnez l'approximation affine locale de f(1 + h)
f(x0 + h)
f(x0) + h*f '(x0)
donc
f(1 + h)
f(1) + h*f '(1)
comme f(x) = 1/x on a f(1) = 1
f '(x) = -1/x² donc f '(1) = -1
f(1 + h)
1 - h
Voilà
2) Déduisez-en des approximations de 1/1.01 ; 1/0.99 ; -1/1.02
f(1 + h)
1 - h
Pour 1/1.01 h=0.01
l'approximation est de 1 - 0.01 = 0.99
Pour -1/1.02
comme f(-x) = -f(x) (la fonction inverse est impaire)
l'approximation de -1/1.02 est - (1 -h) = -1 + h = -1 + 0.02 = -0.98
3) En vous servant de ce qui précède, donnez des approximations de 1/3.03
f(3 + h)
f(3) + h*f '(3)
f(3) = 1/3
f '(3) = -1/9
f(3 + 0.03)
1/3 + 0.03*(-1/9) 0.3300 Et enfin l'approximation de (-9.999)-1
(-9.999)-1 = 1/(-9.999) = -1/9.999
Je cherche une approximation de 1/9.999
x=10 h=-0.001
Je trouve une approximation de 1/10 + (-0.001*(-1/100) = 0,10001
donc l'approximation de (-9.999)-1 est -0,10001
A vérifier
Pour ceux qui ont le même exo, ce qu'on trouve par le calcul se vérifie tout simplement à la calculatrice. 
Bonjour
Juste un détail : pour la question 3, l'énoncé dit : "en vous servant de ce qui précède", c'est-à-dire de l'approximation de 1/(1+h)
J'aurais donc écrit plutôt :
Pour le suivant cela aurait été immédiat si on avait eu 1/4,95, auquel cas on aurait et on pourrait utiliser directement la question 2
ou bien si la question 2 avait été 1/0.999 auquel cas on aurait eu
Mais même avec cet énoncé on s'en sort en mettant 5 en facteur au dénominateur et en utilisant l'approximation du 1.
Même chose pour le dernier on peut faire apparaître f(1+h)
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