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arithmétique problém
Bonjour,
svp j'ai besoin d'aide aux questions 2)-b- ii et 4)-c-
voilà l'énnoncé :
1)pour tout n ∊ N a=2n+5et b=n-3
a-montrer que pour tout diviseur commun de a et b est un diviseur de 11
b-en deduire suivant les valeurs de n,les valeurs de d=a⋀b
c-montrer que les nombres a=2*12^5+5 et b-12^5-3 sont premiers entre eux
2)-a- montrer, ∀ n ∊ N ,(n^2+3n+2)est divisible par n+1
b-soit A(n)=3n^2+5n+19
i-mtr que :
A (n) = (n+1)(3n+2)+17
A (n) =(n+2)(3n-1)+21
ii- en deduire, les valeurs de n pour que A( n) soit divisible par (n+1) d'une part et par (n+2) d'autre part.
c-en deduire que ∀ n ∊ N ,A(n) n'est pas divisible par (n^2+3n+2)
3)on concidère dans N*N l'équation (E):3x-5y=1
a-vérifier que (7,4) est une solution de (E).
b-trouver alors tous les couples (x,y) solutions de (E)
4)-a-mtr que ∀ n ∊ N
n^5+1=(n+1)(n^4-n^3+n^2-n+1)
et n^5-1=(n-1)(n^4+n^3+n^2+n+1)
b- en déduire que B(n)=n^11-n est divisible par 3
c-déterminer le reste dans la division euclidienne par 33 du nombre C(n)=n^11+32n+235
voilà mes réponses :
1)-a- soit d diviseur commun de a et b donc d divise a-2b=11 ... 11 diviseur commun de a et b
b- d diviseur commun de a et b donc d divise 11 donc d=1 ou d=11
pour d=11 ........... on d divise (n-3) et (2n+5) donc
n-3^=11q,q ∊ N ou 2n+5=11q',q ∊ N
....on obtient alors n=11q+3 ou n=(11q-5)/2
concluson : si n=11q+3 ou n=(11q-5)/2 on a d=11
sinon d =1
c- soit n=12^5 donc 12^5=11q+3 ou 12^5=(11q-5)/3 puis j'ai montré que
q=(12^5-3)/11∉N de même pour q'
.......donc d'après la question précedent a⋀b≠11 alors a⋀b=1
2)-a- n^2+3n+2=(n+1)(n+2) divisible par n+1
-b-
ii- ..............................Là JE SUIS arrête .............................
c-(n+1) et (n+2) ne divisent pas A(n) alors leurs produit n^2+3n+2 ne divise pas A(n)
3)-b-
...................les solutions sont [(5q+7,3q+4)]
4)-b-
B(n)=n^11-n=n(n^10-1) <==>.......... <===> B(n)=(n-1)(n)(n+1)(n^4......)(n^4...)
on effectue la divisibilite de n par 3 et la remplaçons chaque fois par 3k,3k+1 et 3k+2
c- C(n)=n^11-n+33n+231+4 .........JE SUIS arrêté l à aussi , je panse de mtr que n^11-n est divisible par 11 par la queston 1)-a- mais je n'ai pas arrivé
Bonjour,
Je reprends 1)b) :
"pour d=11 ........... on d divise (n-3) et (2n+5)"
C'est un "et " que tu transformes ensuite en "ou" dans "n-3^=11q,q ∊ N ou 2n+5=11q',q ∊ N ".
Si PGCD(a,b) = 11 alors 11 divise a . a = n-3 = 11q avec q entier. D'où n = 11q+3 .
Si n = 11q+3 alors b = 2n+5 = ... (et tu trouves que b est aussi divisible par 11 ).
D'où PGCD(a,b) = 11
Si n n'est pas de la forme 11q+3 , alors 11 ne divise pas n-3 ; le PGCD ne peut donc être 11 .
Oups, j'ai échangé a et b .
Une remarque : Il faut éviter au maximum d'écrire des fractions quand on fait de l'arithmétique.
Pour 1)c), il suffit de démontrer que le reste de 125 par 11 n'est pas 3 .
Si tu as vu les congruences : 12 
1 [11] donc 125 ... [11] .
A (n) = (n+1)(3n+2)+17
A(n) est divisible par n+1 si et seulement si 17 est divisible par n+1 .
Seuls diviseurs de 17 dans 
: 1 et 17 .
A(n) est divisible par n+1 si et seulement si n+1 = 1 ou n+1 = 17 .
Je te laisse faire avec A (n) =(n+2)(3n-1)+21 et n+2 .
salut
4)-a-mtr que ∀ n ∊ N
n^5+1=(n+1)(n^4-n^3+n^2-n+1) --> pas difficile
et n^5-1=(n-1)(n^4+n^3+n^2+n+1) --> pas difficile
b- en déduire que B(n)=n^11-n est divisible par 3
(n^5+1)( n^5-1)=(n+1)(n^4-n^3+n^2-n+1)(n^4+n^3+n^2+n+1) soit
(n^10 -1)=(n+1)(n-1)(n^4-n^3+n^2-n+1)(n^4+n^3+n^2+n+1) et
n*(n^10 -1)=n.(n+1)(n-1)(n^4-n^3+n^2-n+1)(n^4+n^3+n^2+n+1) soit
(n^11 - n)=(n+1)n.(n-1)(n^4-n^3+n^2-n+1)(n^4+n^3+n^2+n+1)
le terme (n+1).n(n-1) représente 3 entiers consecutifs dont le produit est toujours divisible par 3 donc (n^11 - n) est divisible par3
bonjour Sylvieg
déterminer le reste dans la division euclidienne par 33 du nombre C(n)=n^11+32n+235
on peut transformer un peu C(n) en ecrivant : n^11+32n+235 = (n^11 -n) +33n+235
comme (n^11 -n) est divisible par 33 alors C(n) peut s'ecrire :
C(n)= 33.Q + 33.n + 235 soit C(n)= 33.(Q+n) + 235 et on cherche R tel que
C(n)= 33.(Q+n) + 235 = 33.q + R soit 33.(Q +n - q )+235 = R on a donc
R congru à 235 modulo 33 ce qui donne R = 4 sauf erreur
comme (n^11 -n) est divisible par 33
Je pense que pour le démontrer, petit Fermat est utile.
Mais il y a peut-être un autre moyen ?
Une fois que c'est justifié, il suffit de diviser 235 par 11 pour écrire :
n11 + 32n + 235 = (n11 -n) + 33n + 33
7 + 4
Et on a tout de suite le résultat.
je n'ai pas compris comment on a montré que n^11-n est divisible par 11 .....je n'ai pas vu le petit théoreme de Fermat ...
re...
n11 = n[11] alors n11-n =0[11] on a donc en clair :
n11-n = 11.k et 3.(n11-n) = 33.k et on a bien
(n11-n) divisible par 33
je n'ai pas encore vu le petit théoreme de Fermat donc je vais utiliser la réccurence pour mtr que n^11-n est divisible par 11 de suite ....je vais appliquer vos réponses
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