Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau première
Partager :

asymptotes et division euclidienne

Posté par
froudjiba
29-08-10 à 03:34

Bonjour,

Récemment, j'ai découvert en manipulant un peu au hasard, qu'on pouvait faire des divisions euclidiennes entre polynômes. Ainsi par exemple pour un polynôme \huge P de degré \huge 3, en trouvant une racine évidente \huge x_0, on pouvait diviser P par \huge x-x_0 pour avoir directement notre second polynôme \huge Q de degré \huge 2 (le reste étant nul) et donc avoir notre \huge P(x)=(x-x_0)Q(x) très rapidement comparé traditionnelle (et fastidieuse) méthode d'identification des coefficients.

Puis aujourd'hui en bidouillant encore un peu, j'ai découvert que toujours avec cette méthode de division euclidienne des polynômes, on pouvait rapidement avoir la réécriture d'une fonction de la forme \huge \frac{a_1x^2+b_1x+c_1}{a_2x+b_2} en \huge a_3x+b_3+\frac{c_3}{a_2x+b_2} afin de trouver l'asymptote oblique d'équation \huge y=a_3x+b_3 . En effet si on note \huge A le numérateur de la fonction sous sa forme initiale (dividende), \huge B le dénominateur (diviseur), \huge Q le quotient et \huge R le reste, alors on a \huge \frac{A}{B}=Q+\frac{R}{B}. Ce qui est bien ce que l'on cherche. Encore une fois, ceci est bien plus rapide que la méthode par identification des coefficients, enseignée au lycée.

Cette méthode pour les asymptotes est-elle connue ? J'imagine que oui. Mais dans ce cas, pourquoi n'est-elle pas apprise en 1ère à la place de la méthode par identification ? Elle est beaucoup plus rapide et sans difficulté aucune. D'autant plus qu'à priori cette méthode est beaucoup plus générale que celle par identification, ou on a besoin de connaitre la forme de l'équation de l'asymptote que l'on cherche, contrairement à celle que je cite ou on peut trouver l'équation d'une asymptote (oblique ou courbe) de n'importe quelle fonction de la forme \huge f=\frac{P}{Q} avec \huge P et \huge Q deux polynômes tels que \huge\deg(P)>\deg(Q) en faisant une simple division euclidienne.

Sur ce, je vais dormir, et j'attends avec impatience des réponses

Posté par
mdr_non
re : asymptotes et division euclidienne 29-08-10 à 03:56

bonjour

pour la simple et bonne raison que la division euclidienne se voit en spé..

je ne sais pas, si on peut appeler ça une découverte, puisqu'avec l'habitude on s'aperçoit effectivement
que l'on obtient facilement par exemple le ax + b + h(x) (pour asymptote oblique)..  avec la factorisation ....

Posté par
theluckyluke
re : asymptotes et division euclidienne 29-08-10 à 10:54

Salut,

je vais te donner quelques éléments de réponse.

Ce que tu évoques fais référence à de l'arithmétique adaptée à des polynômes, ce qui nécessite tout d'abord une définition plus précise d'un polynôme, ainsi que tout un tas de notions rattachées à ce sujet.
En fait, ce que tu appelles f = P/Q, avec P et Q des polynômes s'appelle une fraction rationnelle. Il existe un certain nombre de théorèmes pour manipuler ces fractions, notamment la décomposition en éléments simples.
La plupart de ce qui existe en arithmétique tel que tu as pu (ou pourra) le voir en terminale (spécialité math par exemple) s'applique aussi aux polynômes, et c'est très pratique.

La simple raison pour laquelle on ne l'enseigne pas au lycée, c'est que cela fait appel à des notions sous-jacentes un peu complexes et qui ne sont pas approfondies à ce niveau. Ce n'est réellement qu'en classes préparatoires qu'on y touche. (peut-être aussi quelques notions en terminale, je ne me souviens plus)

En tout cas, félicitation pour avoir trouvé ça, si tu veux en savoir plus, dis-moi, je te donnerai quelques liens et explications.

Posté par
froudjiba
re : asymptotes et division euclidienne 29-08-10 à 18:34

Bonjour,

Tour d'abord merci pour ta réponse !

Je passe en terminale, néanmoins j'ai quelques notions et je connais les principaux théorèmes d'arithmétique qu'on voit en spé (je me suis avancé sur le programme de terminale pour pouvoir bien me préparer à la sup durant cette année, sans compter bien sûr que j'adore les maths )

J'ai essayé de comprendre ce qu'était la décomposition en élément simples en regardant sur wikipedia, j'ai compris que cela consiste à décomposer une fraction rationnelle, dont le dénominateur est de degré supérieur au numérateur (si ce n'est pas le cas, division euclidienne pour s'y ramener), en somme de fractions rationnelles \huge \frac{P}{Q} avec \huge \deg(P)<\deg(Q) et \huge Q irréductible dans l'anneau considéré. Apparemment cela s'utilise surtout pour faciliter me calcul de primitives pour les intégrales (un peu comme la linéarisation d'expressions trigonométriques). Par contre je n'ai pas trop compris la méthode, si tu pouvais m'expliquer rapidement si c'est pas trop long stp.

En tout cas ça m'intéresse effectivement donc j'aimerais bien avoir un peu plus d'explications .

Merci d'avance!

Posté par
theluckyluke
re : asymptotes et division euclidienne 30-08-10 à 10:49

Ok, très bien!

Commençons d'abord par le début. Ce sont des notions de math sup, je formule volontairement comme on le ferait à ce niveau.

Alors une fraction rationnelle, c'est en effet le quotient de deux polynômes P/Q par exemple.
Plusieurs cas peuvent se présenter, en fonction des degrés des deux polynômes, et en fonction de ces cas, on va décomposer un peu différemment. (enfin la méthode est légèrement différente)

Mais avant ça, il est important de savoir les différents points suivants :
Si tu te places dans le corps des complexes C (voir programme de terminale), tout polynôme est scindé, c'est-à-dire que tu peux l'écrire sous la forme : 3$ P(X) = \alpha \prod_{i=1}^n (X-\alpha _i) avec n le degré du polynôme P, 3$ \alpha le coefficient dominant et 3$ \forall 1 \le i \le n , \qquad \alpha _i racine de P. En fait, c'est assez logique si on y réfléchi.

En revanche, dans les réels R, c'est une autre histoire : tout polynôme P peut se factoriser comme cela :
3$ P(X) = \alpha \prod_{i=1}^m (X-\alpha _i) \times \prod_{i=1}^p (X^2+\alpha _i X +\beta _i). En fait, cela est du au fait que tu ne peux factoriser certains polynômes de degré 2, car le discriminant est négatif strictement, ce qui veut aussi dire qu'il n'y a pas de racines réelles (mais deux racines complexes en revanche).

Voilà la base. Ce qui est important, c'est de regarder où le dénominateur s'annule. Ca s'appelle un pôle de la fraction rationnelle. De degré 1 si Q s'annule une fois en ce point, degré n s'il s'annule n fois.

Je poste brièvement la méthode dans le prochain post.

Posté par
theluckyluke
re : asymptotes et division euclidienne 30-08-10 à 11:05

Décomposer P/Q.

1er cas : deg(P)deg(Q) alors la décomposition fera apparaître ce que l'on appelle une partie entière. Tu la trouves en faisant une division euclidienne.
Par exemple : 3$ P = U \times Q + R alors 3$ \frac{P}{Q} = U + \frac{R}{Q} et on va alors décomposer R/Q, puisqu'on s'est ramené au deuxième cas (qui suit). Pourquoi? Parce que deg(R)<deg(Q) par définition de la division euclidienne.

2ème cas : deg(P)< deg(Q).
Alors tu facorises Q.

1er sous-cas : Soit 3$ \alpha une racine simple de Q. Tu te reportes au cas de racine simple dans Wikipedia, tu as donc que la décomposition est sous la forme d'une somme de fractions rationnelles avec au dénominteur les différentes parties scindées du type (X-a) du polynôme. Tu as des coefficients a et b que tu veux déterminer.
Après tu utilises des méthodes classiques pour les déterminer.

2ème sous-cas : On a des pôles multiples. Alors la décomposition prend une autre forme et il y a plus de coefficients à trouver.

En fait, c'est assez elliptique mon explication, mais en cours de route, je me suis rappelé d'un site que j'avais l'habitude de regarder quand j'étais en terminale. Je te donne le lien et tu trouveras la méthode de décomposition en éléments simples dans l'onglet "Cours" sous "Fractions rationnelles", mais je te conseille de jeter un oeil aussi sur le cours "Polynômes". Et tous les autres d'ailleurs

http://bkristof.free.fr/

Posté par
theluckyluke
re : asymptotes et division euclidienne 30-08-10 à 11:06

Si tu as des questions, que ce soit sur les polynômes ou autre chose, n'hésite pas hein ^^

Posté par
froudjiba
re : asymptotes et division euclidienne 31-08-10 à 02:40

Pour le premier post, je savais déjà, c'est la décomposition en facteurs irréductibles. Par exemple \huge X^3-1 se factorise en \huge (X-1)(X^2+X+1) dans \huge\mathbb{R} mais en \huge (X-1)(X-j)(X-j^2) dans \huge\mathbb{C} avec \huge j=e^{i\frac{2\pi}{3}}.

Mais pour la méthode de décomposition en éléments simples, je suis pas sur d'avoir compris, par exemple pour la fraction rationelle \huge\frac{X^2+1}{X^3-1} qui dans \huge\mathbb{C} se factorise en \huge\frac{(X+i)(X-i)}{(X-1)(X-j)(X-j^2). La décomposition en éléments simples de cette fraction rationelle sera de la forme \huge\frac{a}{X-1}+\frac{b}{X-j}+\frac{c}{X-j^2} dans \huge\mathbb{C} mais en \huge\frac{a}{X-1}+\frac{bX+c}{X^2+X+1} dans \huge\mathbb{R} c'est bien ça ?



Citation :

En fait, c'est assez elliptique mon explication, mais en cours de route, je me suis rappelé d'un site que j'avais l'habitude de regarder quand j'étais en terminale. Je te donne le lien et tu trouveras la méthode de décomposition en éléments simples dans l'onglet "Cours" sous "Fractions rationnelles", mais je te conseille de jeter un oeil aussi sur le cours "Polynômes". Et tous les autres d'ailleurs

http://bkristof.free.fr/

Ce cours c'est ma bible ! A chaque fois que j'ai besoin de quelque chose je vais dessus (d'ailleurs j'ai regardé mais il n'y a pas la décomposition en éléments simples dedans ) Je savais pas qu'il était aussi connu ! Moi ca fait au moins 6 mois que je vais dessus très régulièrement, et c'est en grande partie grâce à ca que j'ai énormément élevé mon niveau par rapport à mon début d'année de première. Je le trouve super bien fait ! Après on m'a dit que c'était pas un cours de très haut niveau de prépa, et c'est donc pour ça qu'il est facilement compréhensible par un lycéen, mais bon c'est déjà super pour s'initier !

En tout cas c'est sympa de prendre le temps de m'expliquer merci beaucoup

Posté par
Bachstelze
re : asymptotes et division euclidienne 31-08-10 à 06:47

Pour ce que tu as mis plus haut, c'est bien ça, oui.

Posté par
froudjiba
re : asymptotes et division euclidienne 31-08-10 à 07:02

Un exemple :

On veux décomposer la fraction rationnelle \huge F(z)=\frac{z^2+1}{z^3-1}=\frac{(z+i)(z-i)}{(z-1)(z-j)(z-j^2)},\forall z\in\mathbb{C} en éléments simples.


On cherche donc les \huge (a,b,c)\in\mathbb{C}^3 tels que \huge F(z)=\frac{a}{z-1}+\frac{b}{z-j}+\frac{c}{z-j^2}

Donc :

\huge \frac{a}{z-1}+\frac{b}{z-j}+\frac{c}{z-j^2}=\frac{a(z-j)(z-j^2)+b(z-1)(z-j^2)+c(z-1)(z-j)}{(z-1)(z-j)(z-j^2)}=\frac{az^2-azj^2-ajz+aj^3+bz^2-bzj^2-bz+bj^2+cz^2-czj-cz+cj}{z^3-1}\\=\frac{(a+b+c)z^2-(aj^2+bj^2+aj+cj+b+c)z+aj^3+bj^2+cj}{z^3-1}=\frac{(a+b+c)z^2-(a(\bar{j}+j)+b(\bar{j}+1)+c(j+1))z+bj^2+cj+a}{z^3-1}\\=\frac{(a+b+c)z^2+(a+bj-c(j+1))z+bj^2+cj+a}{z^3-1}

On a donc par identification :

\huge\left\{\begin{array}a+b+c=1\\a+bj-c(j-1)=0\\a+b\bar{j}+cj=1\end{array}\right.

Les trois lignes étant numérotées respectivement \huge (1), \huge (2) et \huge (3).


Alors, avec \huge (1) on a : \huge a=1-b-c

On injecte \huge (1) dans \huge (2) : \huge 1-b-c+bj+c(j+1)=0\Leftrightarrow b(j-1)+c(j+2)=1\Leftrightarrow b=\frac{1+c(j+2)}{j-1}

On réinjecte maintenant \huge (2) dans \huge (1) : \huge a=1-\frac{1+c(j+2)}{j-1}-c=\frac{j-2-c(j+2)-c(j-1)}{j-1}=\frac{j-2-c(2j+1)}{j-1}

On a maintenant \huge a et \huge b en fonction de \huge c, donc il ne reste plus qu'à les injecter dans \huge (3) pour calculer \huge c, puis en déduire \huge a et \huge b.

\huge\frac{j-2-c(2j+1)}{j-1}+\frac{1+c(j+2)}{j-1}j^2+cj=1\Leftrightarrow j-2-c(2j+1)+j^2+c(1+2j^2)+c(\bar{j}-j)-j+1=0\\\Leftrightarrow j^2-1+c(2j^2+1-2j-1-i\sqrt{3})=0\Leftrightarrow j^2-1+c(2(\bar{j}-j)-i\sqrt{3})=0\Leftrightarrow j^2-1-3i\sqrt{3}c=0\\\Leftrightarrow c=\frac{\bar{j}-1}{3i\sqrt{3}}=\frac{\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}-1}{3i\sqrt{3}}=\frac{-3-i\sqrt{3}}{6i\sqrt{3}}=\frac{6i\sqrt{3}(3+i\sqrt{3})}{324}=\frac{18i\sqrt{3}-36}{324}=-\frac{1}{9}+i\frac{sqrt{3}}{18}


D'où : \huge b=\frac{1+c(j+2)}{j-1}=\frac{1-\frac{2-i\sqrt{3}}{18}\(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}+2\)}{\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}-1}=\frac{1-\frac{(2-i\sqrt{3})(3+i\sqrt{3})}{36}}{\frac{-3+i\sqrt{3}}{2}}=\(\frac{36-6-2i\sqrt{3}+i\sqrt{3}-3}{36}\)\(\frac{2}{-3+i\sqrt{3}}\)\\=\frac{27+i\sqrt{3}}{-54+18i\sqrt{3}}=-\frac{(27+i\sqrt{3})(54+18i\sqrt{3})}{(-54)^2+(18\sqrt{3})^2}=-\frac{13}{36}-i\frac{5\sqrt{3}}{36}
(j'ai fait confiance à ma TI89 pour le dernier calcul ^^)


Et : \huge a=\frac{j-2-c(2j-1)}{j-1}=\frac{\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}-2+\frac{2-i\sqrt{3}}{18}\(-2+i\sqrt{3}\)}{\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}-1}=\frac{\frac{-5+i\sqrt{3}}{2}+\frac{2i\sqrt{3}+3-4+2i\sqrt{3}}{18}}{\frac{-3+i\sqrt{3}}{2}}=\(\frac{-40+9i\sqrt{3}+4i\sqrt{3}-1}{18}\)\(\frac{2}{-3+i\sqrt{3}}\)\\=\frac{-41+13i\sqrt{3}}{-27+9i\sqrt{3}}=\frac{(41-13i\sqrt{3})(27+9i\sqrt{3})}{(-27)^2+(9\sqrt{3})^2}=\frac{3}{2}+\i\frac{\sqrt{3}}{54}


Donc finalement notre fraction rationnelle se réécrit : \huge P(z)=\frac{\frac{3}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{54}}{z-1}+\frac{-\frac{13}{36}-i\frac{5\sqrt{3}}{36}}{z-j}+\frac{-\frac{1}{9}+i\frac{\sqrt{3}}{18}}{z-j^2}

Bon, j'ai pas vérifié (la flemme) mais c'est sûrement faux (dans tous ces calculs j'ai bien dû faire au moins une faute) mais dans l'idée, je pense que c'est ça.

(J'ai les doigts en bouillie...)


En tout cas cette méthode est ultra calculatoire. Et avec ça j'ai pris l'exemple d'une fraction rationnelle avec deux polynômes simples, déjà que là c'est affreusement long (et sans intérêt) je n'ose imaginer comment on ferait avec des polynômes de degré 6, 7, n ? Surtout qu'en général, en prépa, ce qu'on fait c'est pas des calculs bourrins comme ça qui ne nécessitent aucune réflexion mais des trucs bien plus théoriques...

Posté par
froudjiba
re : asymptotes et division euclidienne 31-08-10 à 07:07

Mais quel c*n j'avais complètement zappé qu'il existait un chapitre "fractions rationnelles" dans le cours de Christophe Bertault !
Je m'évertuais à chercher quelque chose sur la décomposition en éléments simples dans le chapitre sur les polynômes

Ah et merci Bachstelze pour la confirmation

Posté par
Bachstelze
re : asymptotes et division euclidienne 31-08-10 à 07:09

En te plaçant dans , ça devient généralement plus fastidieux, oui. Si tu essaies la même dans , ça devrait être plus simple. Mais dans l'esprit, c'est ça (je n'ai pas vérifié non plus).

Posté par
Bachstelze
re : asymptotes et division euclidienne 31-08-10 à 07:30

Et la D.E.S. est généralement utilisée dans , pour l'intégration des fonctions rationnelles. Enfin moi, je ne l'ai utilisée que pour ça (mais je suis pas en prépa...).

Posté par
theluckyluke
re : asymptotes et division euclidienne 31-08-10 à 11:20

Il y a plus simple pour trouver les réels :

Soit A la forme avec les inconnues à trouver.
Soit P la fraction rationnelle de base.

Je reprend ton exemple : tu veux trouver a.
Tu multiplies A par (z-1), cela donne B. Tu fais B(1). Il te reste B(1)=a.

Tu as donc égalité avec P (z-1) = Q que tu peux maintenant aussi évaluer en 1 puisque 1 n'est plus un pôle.

Donc tu as directement : a = \frac{(1+i)(1-i)}{(1-j)(1-j^2)}.
C'est un peu plus rapide, il reste à simplifier quand même.

Tu fais pareil pour les autres. Bon par contre, cette méthode ne marche pas tout à fait comme cela appliquée pour des pôles de multiplicité supérieure à 1. (puisqu'en multipliant, 1 serait encore un pôle par exemple)

L'idée avec les pôles de multiplicité > 1 est de commencer avec la méthode juste au dessus avec celui de plus grande multiplicité (là ça marche) puis ensuite de soustraire la partie trouvée, ce qui aura pour effet de diminuer d'une puissance le pôle et tu peux répéter la technique avec une multiplicité d'ordre un de moins.
Je pense que c'est expliqué clairement sur le site que je t'ai donné, avec des exemples.



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1742 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !