Bonjour
Pour l'octogone ,pas de problème d'angle aigu (135°)  
*si on respecte l'idée du plus petit coté L=5
*si on ne respecte qu'un point de départ et l'autre le plus éloigné:

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Je propose 29

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je dirai  L=3

Bonjour

J'ai juste regardé le premier cas et je trouve :

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.

Pour le deuxième :

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Une question tout de même car j'étais resté dans l'esprit du problème précédent : l'intérieur de la baguette peut-il sortir du polygone ?

Imod

Bonsoir,
je ne trouve les mêmes résultats que Imod qui ne sont pas ceux de dpi.

Pour la question d'Imod j'ai utilisé la réponse oui.
En fait si la baguette doit rester à l'intérieur du polygone la seconde figure devient très facile à traiter mais c'est une option que l'on peut regarder.

En fait il y a une méthode simple pour traiter les polygones convexes.
Je n'ai pas encore trouvé de méthode générale pour les autres.

Pour le cas convexe j'ai regardé la largeur de la bande s'appuyant  sur un côté . Dans ton exemple la figure s'obtient par rotations de 45° , il n'y a donc qu'un cas à étudier

Le cas non convexe est bien plus intéressant mais sans doute très complexe : c'est une des raisons pour laquelle j'ai botté en touche à la question de Dpi dans le fil précédent . Les figures que tu as proposées sont très régulières et il me semble qu'il y a déjà des choses à découvrir dans ces cas simples .

Imod

PS : il y avait bien un "ne" en trop dans ton message précédent ?

En effet pour les polygones convexes il suffit de regarder la largeur des bandes s'appuyant sur un coté. La plus petite donne la longueur maximale de la baguette : elle doit pouvoir tourner dans cette bande.

Pour les non convexes l'enveloppe convexe donne un majorant.

Une autre figure :

J'ai une réponse mais je ne suis pas certain qu'elle soit optimale.

Je vois mais aussi toute la difficulté même avec des figures simples d'évaluer la taille maximale .


Imod

Entre temps j'ai révisé ma  longueur pour l'étoile .
Je trouve en trigo 3.58 ce qui correspond à la valeur de Imod  8/5

soit

Les deux premiers dessins proposés par Verdurin sont construits sur le même modèle avec deux carrés de même centre orientés à 45° . On peut facilement passer au cas général . Son dernier dessin nous fait passer dans une autre dimension

Quand on est perdu on cherche des repères .

Pour un triangle la plus grande baguette dont chaque extrémité peut décrire l'ensemble du périmètre a la taille de la plus petite hauteur .

On peut essayer de voir avec des quadrilatères avant d'attaquer le bizarre avec de la pomme

Pour le parallélogramme , on reste dans la même logique , coincés par la plus petite hauteur . Pour un trapèze ça se complique , je ne parle pas des quadrilatères non convexes ( on exclut les croisés ) . En bref je trouverais plutôt sympa de se limiter dans un premier temps aux quadrilatères

Imod

PS : une question annexe que je me suis posé en écrivant : si une chaque extrémité de la baguette peut parcourir le périmètre du polygone : peut-elle toujours franchir ( dépasser ) la ligne d'arrivée ?

Pour les quadrilatères convexes comme pour tous les polygones convexes c'est très simple : la plus grande baguette pouvant en faire le tour est égale à la largeur de la bande la plus étroite contenant le polygone.
Voir le message d'Imod Baguette tournante
Pour la suite je reviens un peu plus tard.

Pour les quadrilatères non convexes ABCD disons que l'enveloppe convexe est ABC.
Alors la plus grande baguette possible est le minimum des hauteurs du triangle ABC et de BD. Sauf erreur de ma part.

Un petit défi : donner un polygone non convexe tel que la baguette en fasse le tour en restant dans le polygone.

J'ai trouvé un octogone relativement simple qui répond au défi



Imod

Une illustration des déplacements précédents :


Imod

Très subtil.
Personnellement j'ai trouvé que les étoiles régulières fonctionnent bien à partir de cinq branches

la baguette AH fait bien le tour.

C'est plus simple et avec un mécanisme élémentaire : "on tourne - on translate" , répété indéfiniment .

Une question en entraîne toujours une autre

La plus petite étoile a 10 côtés , le retournement sans sortir du cadre est aussi possible avec 8 côtés . Avec 4 côtés c'est impossible , il reste donc 6 côtés ( et bien sûr tous les cas impairs  ) .

Imod

Pour six côtés pas de problème : la figure donnée ici Tour de baguette convient en prenant une baguette reliant un sommet aigu au sommet rentrant opposé.

Pour les cas impairs je vais réfléchir, si j'y arrive

Le cas de l'hexagone ouvre des pistes pour tous les côtés pairs dans le but de réduire le nombre de manœuvres nécessaires pour faire un tour complet . On peut construire une étoile en ajoutant un même triangle isocèle sur chacun des côtés d'un polygone régulier .
Le cas impair est un vrai casse tête , j'ai essayé avec un pentagone non convexe sans aboutir . Peut-être avec un heptagone ?

Imod

J'ai aussi essayé en vain de trouver un pentagone.
Je crois que le problème est que pour heptagone et ennéagone va venir du fait que pour les hexagones et octogone que nous avons trouvés il n'y a qu'une longueur de baguette qui convienne.
Pour le décagone « étoile à 5 pointes » il y en a tout un intervalle ce qui donne une chance pour un polygone à 11 côtés.
À voir . . .

Ajouter des côtés c'est ajouter des difficultés

Un problème plus simple : trouver un polygone non convexe avec un nombre impair de côtés dans lequel une baguette attachée aux côtés peut en faire le tour sans jamais en sortir . Grosso modo on oublie la taille de la baguette .

Imod

PS : j'ajoute trop souvent des questions aux questions mais ce n'est pas par malice

Il me semble que c'est le problème en cours.
C'est ta question ici Baguette tournante qui a tout déclenché, mais tu ne poses pas une nouvelle question dans le message précédent.

Ce n'est pas tout à fait la même question car je propose de considérer une baguette de taille quelconque devant faire le tour du polygone .

Imod

Il m'arrive de plus en plus souvent de me perdre en cherchant midi à quatorze heures

En fusionnant les étapes 5-6-7 de mon octogone précédent on fait tourner proprement la plus grande baguette dans heptagone suivant :



Imod

En fait on peut généraliser la méthode pour tous les entiers impairs strictement supérieurs à 5 . Par exemple pour 11 côtés :



On peut au besoin décaler le sommet en bas à gauche si le passage de la baguette est gêné par le coin en haut à gauche .

Il ne reste plus que le cas du pentagone

Imod

Je cherche pour le pentagone,mais je pense que sera
de la partie

Je l'ai , l'idée est toujours la même



Imod

Ces exercices sont vraiment très amusants si on n'est pas trop ambitieux dans le questionnement . Par exemple : existe-t-il un polygone dans lequel chaque extrémité de la plus grande baguette peut effectuer un tour complet alors que la baguette ne peut pas réaliser plus d'un tour ? La question peut se poser pour une position donnée de la baguette ou pour une position quelconque . Il me semble que la réponse est oui dans les deux cas ( on oublie ici l'obligation de rester à l'intérieur du polygone ) .

Imod

Pour un pentagone de coté 1 je pense que la baguette maximale
mesurera 1.7205

Même si l'idée était bonne , l'illustration précédente n'était pas correcte car la baguette ne pouvait pas se retourner lors de la dernière étape . Une version corrigée :



Imod

Bravo !

Vous avez compris que je parlais d'un pentagone régulier
Celui de Imod est particulier...

Pour le pentagone de Imod
Je pense que la baguette la plus longue mesure ((9²+5²))/2 5.1478

Sur mon dessin la plus grande baguette fait 5 . Il y a une façon très simple de le voir . A un moment la baguette va se retrouver en position verticale et on regarde la longueur du plus grand segment vertical dont les extrémités sont sur le périmètre .

Imod

Bien sûr....j'avais pris le rayon du cercle circonscrit...

Je n'ai pas trop envie de laisser le problème en l'état et j'ai des petites questions plus ou moins idiotes qui pourraient servir de garde-fou pour d'hypothétiques prolongements . Chacun peut bien sûr ajouter les siennes en essayant de respecter la numérotation ( une variante du 1°) s'appellerait 1°) b) ) . On peut aussi trouver ça sans intérêt

1°) Une baguette pouvant faire le tour du polygone pourra-t-elle toujours le faire si on change sa position initiale ?

2°) Chacune des extrémités d'une baguette peut parcourir toute la frontière d'un polygone . La baguette pourra-t-elle faire plus d'un tour ?

3°) a) La taille de la plus grande baguette parcourant la frontière d'un polygone régulier convexe est-elle égale au diamètre de son cercle inscrit ?

3°) b) Pour un périmètre donné et un nombre de côtés donnés quels sont les polygones pouvant accueillir la plus grande baguette et quelle sera sa taille ?

4°) Quelle est la taille de la plus grande baguette pouvant parcourir la frontière d'un polygone régulier étoilé ?

5°) On a vu des exemples pour lesquels une des extrémités de la plus grande baguette parcourrait régulièrement le périmètre alors que l'autre devait effectuer des allers et retours . Y-a-t-il des exemples de polygones pour lesquels les deux extrémités seraient obligées d'interrompre à un moment le sens de leur parcours ?

Imod

J'ajoute une nouvelle question :

6°) Les réponses aux questions précédentes ( en dehors de celles qui dépendent du nombre de côtés ou de la forme du polygone ) sont-elles les mêmes si on impose au polygone d'avoir ses sommets aux nœuds d'un quadrillage orthonormé ?

Imod

Bonsoir,
pour la question 1 :

les baguettes verte et noire ont la même longueur. La baguette verte peut faire le tour de l'étoile, pas la noire.

Pour la question 3)a) il suffit de considérer les triangles pour voir que la réponse est négative.

D'accord pour les deux réponses .

Pour le 1°) j'avais un peu plus simple :


Pour le 3°) a) , quelle est alors la taille de la plus grande baguette ( on rejoint la question de Dpi ) ?

Imod

Pour répondre à la question 3°) a) , il y a deux cas de figure :

Si le nombre de côtés est pair la longueur de la baguette est bien le diamètre du cercle inscrit dans le polygone , c'est aussi la longueur du rectangle formé par deux côtés opposés du polygone .

Si le nombre de côtés est impair la longueur de la baguette est la hauteur principale du triangle formé par un côté du polygone et le sommet appartenant à sa médiatrice .

Ce n'est pas la partie la plus difficile ni la plus intéressante du problème mais on pose des balises

Imod

Je suis un peu fatigué et je me limite à des réponses sans imagination.

Pour la question 3)a) :
On peut calculer la longueur de la plus grande baguette faisant le tour d'un polygone régulier convexe à n cotés de périmètre P.

Si n est pair on trouve , si n est impair on trouve

On constate avec plaisir que la limite est quand n tend vers l'infini.

Pour 3)b) je suis persuadé que les polygones réguliers convexes sont optimaux, et que c'est difficile à démontrer.


Pour le 2) il me semble que la question est plutôt :  « chacune des extrémités d'une baguette peut parcourir toute la frontière d'un polygone . La baguette pourra-t-elle faire un tour ? »

La fatigue arrive très vite dans ce type d'exercice et rassure toi , nous sommes deux ( au moins ) à nous prendre la tête à deux mains  .

J'ai ajouté des questions "faciles" car les extensions au problème sont très rapidement complexes . Je vais réfléchir à d'autres questions et peut-être proposer ton problème ( sous une forme différente ) à d'autres sites car nous sommes peu à participer ici .

D'un autre côté c'est l'été et les vacances  

Imod

Une réflexion à propos de la remarque de Verdurin  pour la question 2°) :

On voit sur l'exemple de l'octogone que lors d'un tour une extrémité de la baguette peut parcourir le périmètre alors que l'autre ne fait que balayer un segment . Au deuxième tour tout rentre dans l'ordre car les extrémités s'échangent .

Une meilleure formulation de la question 2°) aurait pu être :

2°) Une extrémité de la baguette peut parcourir entièrement la frontière du polygone , en est-il forcément de même pour la deuxième ?

A priori rien n'impose que l'extrémité B de la baguette [AB] se retrouve en B si l'extrémité A fait un tour complet , ou alors quelque chose d'élémentaire m'échappe .

Ce problème n'a pas fini de me tourmenter

Imod

Salut Imod,
dans l'exemple que tu donnes ici Baguette tournante l'extrémité « flèche » de la baguette n'a pas encore fait un tour complet : elle n'est pas revenue à son point de départ.
Quand une extrémité F revient à son point de départ l'autre extrémité L est sur un point du polygone qu'a occupée F.
Ta question est alors :  y a t-il un polygone ( en fait une lacet simple quelconque ) tel qu'il soit impossible que F et L soient échangées.

La réponse est non, à mon avis.
Je vais essayer de voir ça de plus près.

Oui , il y avait des subtilités qui m'avaient échappé : la baguette peut se retrouver dans sa position initiale mais retournée . Le début de la baguette passerait alors de D à F et la fin de F à D . Les deux extrémités de la baguette se déplacent sur un circuit fermé et ne peuvent se rencontrer donc l'une des extrémités va parcourir complètement un demi-circuit (D,F) et l'autre extrémité le second . Il suffit de reproduire les déplacements une seconde fois pour que chaque extrémité ait parcouru l'ensemble du circuit . Le même raisonnement peut s'appliquer si la baguette se retrouve en position initiale et si on impose que l'une des extrémités a parcouru le périmètre en entier . Le nombre de positions « limites » de la baguette étant fini , si la baguette tourne indéfiniment elle repassera par la même position . D'autre part il est évident que la baguette peut repasser par la même position sans pouvoir faire un tour complet si on n'ajoute pas d'autres conditions mais il me semble qu'on a une réponse à la question 2°) .

Imod

J'ai proposé une version édulcorée ici : , plus on est de fous ...

Imod

J'ai lu le fil en question et je me demande ce que tu entends par « la baguette fait un tour ».
Pour moi c'est quand elle est revenue à sa position de départ : même position et même sens. Il est alors évident qu'elle peut faire autant de tours que l'on veut.

C'est difficile à expliquer simplement , je pose deux questions .

1°) Une des extrémités de la baguette peut parcourir l'ensemble de la frontière , en est-il forcément de même pour la deuxième ?

Ce n'est pas complètement évident car on pourrait imaginer que lorsque la première extrémité retrouve son point de départ , il n'en soit pas de même pour la deuxième .

2°) On suppose cette fois-ci que les deux extrémités parcourent  chacune l'intégralité du périmètre . La baguette est-elle assurée de pouvoir faire plusieurs tours ?

On compte ici les tours de façon angulaire et orientée . Disons que la position initiale est (D,F) , l'extrémité initialement en D parcourt toute la frontière et la baguette arrive en (D,G) , on continue les manœuvres et la baguette remplit son contrat en aboutissant à  (H,F) . Arrivée à ce point la baguette peut-elle continuer à progresser ou doit-elle reproduire indéfiniment les mêmes actions à l'envers  puis à l'endroit ?

En bref globalement après le passage de (D,F) à (H,F) , la baguette peut-elle continuer à aller de l'avant ?

Je ne suis pas sûr d'être beaucoup plus clair , sans doute parce que ça ne l'est pas dans ma tête

Imod

Pour le 1°) je suis persuadé que c'est vrai ( pour des « raisons topologiques » comme dirais lourrran ) il est à craindre que la démonstration soit difficile genre théorème de Jordan.

Pour le 2°) de mon point de vue la baguette n'a pas encore fait un tour.