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Barycentre 12

Posté par
Samsco
20-09-20 à 17:33

Bonjour j'ai besoin que vous vérifiez ce que j'ai fais svp

Exercice :

ABC est un triangle.
On pose : a=BC , b=AC , c=AB , \alpha=a cos B cos C , \beta=b cos A cos C , \gamma=c cos A cos B .
On admettra que : \alpha+\beta+\gamma\neq 0

1- Soit H le barycentre de (A , \alpha) , (B , \beta) et (C , \gamma).
Exprimer le vecteur \vec{AH} en fonction de \vec{AB} et \vec{AC}.

2- Déduire de la question précédente que les vecteurs \vec{AH} et \vec{BC} sont orthogonaux.

3-Demontrer que H est l'orthocentre triangle ABC.

Réponses :

1-

H=bar(A ,\alpha),(B , \beta) , (C , \gamma)

\vec{AH}=\dfrac{\beta}{\alpha+\beta+\gamma}\vec{AB}+\dfrac{\gamma}{\alpha+\beta+\gamma}\vec{AC}
 \\ 
 \\ \iff \vec{AH}=\dfrac{1}{\alpha+\beta+\gamma}(\beta\vec{AB}+\gamma\vec{AC})

2-

\vec{AH}.\vec{BC}=\dfrac{1}{\alpha+\beta+\gamma}(b\cos A\cos C×\vec{AB}.\vec{BC}+c \cos A\cos B×\vec{AC}.\vec{BC})

\iff \vec{AH}.\vec{BC}=\dfrac{1}{\alpha+\beta+\gamma}(-abc \cos A \cos B \cos C+abc \cosA \cos B \cos C)
 \\ 
 \\ \iff \vec{AH}.\vec{BC}=0

3-

De meme :
_ Les vecteurs BH et AC sont orthogonaux
_ Les vecteurs CH et AB sont orthogonaux

On peut conclure que H est l'orthocentre du triangle ABC

Posté par
Samsco
re : Barycentre 12 20-09-20 à 19:12

Samsco @ 20-09-2020 à 17:33

\iff \vec{AH}.\vec{BC}=\dfrac{1}{\alpha+\beta+\gamma}(-abc \cos A \cos B \cos C+abc {\blue{\cos A}} \cos B \cos C)
 \\

Posté par
Priam
re : Barycentre 12 20-09-20 à 22:13

Bonsoir,
Tout cela me paraît juste.

Posté par
Samsco
re : Barycentre 12 20-09-20 à 22:57

Ok merci !



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