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Barycentre 13

Posté par
Samsco
20-09-20 à 18:32

Bonjour j'ai besoin de votre aide svp.

Exercice :

Soit ABC un triangle. G son centre de gravité , O le centre de son cercle circonscrit et H le point tel que :

\vec{OH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}

1-a) Vérifier que les vecteurs AH et BC sont orthogonaux.

b) Démontrer que H est l'orthocentre du triangle ABC.

2- Démontrer que O=bar{(G , 3) , (H , -1)}

3- On reprend dans cette question les données et les résultats de l'exercice précédent. ( Barycentre 13)

a) Vérifier que : \beta+\gamma=a \cos A

b) Déduire des questions précédentes que O est le barycentre de ( A , a cos A) , (B , b cos B) et (C , c cos C)

Réponses :

1-a)

Soit A' le milieu de [BC]

\vec{OB}+\vec{OC}=2\vec{OA'}

\vec{OH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}
 \\ 
 \\ \iff \vec{OA}+\vec{AH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}

\iff \vec{AH}=\vec{OB}+\vec{OC}
 \\ 
 \\ \vec{AH}.\vec{BC}=2\vec{OA'}.(\vec{BO}+\vec{OC})
=(\vec{OB}+\vec{OC}).(\vec{BO}+\vec{OC})
 \\ 
 \\ \vec{AH}.\vec{BC}=0

Donc les vecteurs AH et BC sont orthogonaux. ( Y a t-il une autre méthode pour le prouver ?)

b) De même:
_ Les vecteurs BH et AC sont orthogonaux.
_ Les vecteurs CH et AB sont orthogonaux.

Donc H est l'orthocentre du triangle ABC.

2-

\vec{OH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}

Or G est centre de gravité de ABC donc:
\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=3\vec{OG}
 \\ 
 \\ \iff 3\vec{OG}-\vec{OH}=\vec{0}
 \\ 
 \\ \iff O=bar(G ,3) ,(H , -1)

3-

\beta+\gamma=b \cos A \cos C+c \cos A \cos B
 \\ 
 \\ \beta+\gamma=\cos A(b \cos C+c \cos B)

Posté par
PLSVU
re : Barycentre 13 20-09-20 à 22:32

bonjour
les vecteurs AH et BC sont orthogonaux. ( Y a t-il une autre méthode pour le prouver ?)
OUI
Ton début
Soit A' le milieu de [BC]

\vec{OB}+\vec{OC}=2\vec{OA'}

\vec{OH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}
 \\ 
 \\ \iff \vec{OA}+\vec{AH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}

\iff \vec{AH}=.....

et  c'est terminé en justifiant par une phrase

Posté par
Priam
re : Barycentre 13 20-09-20 à 22:43

3. Tu pourrais terminer en montrant que  bcosC = CH  et ccosB = BH .

Posté par
Samsco
re : Barycentre 13 20-09-20 à 23:01

PLSVU @ 20-09-2020 à 22:32

bonjour
les vecteurs AH et BC sont orthogonaux. ( Y a t-il une autre méthode pour le prouver ?)
OUI
Ton début
Soit A' le milieu de [BC]

\vec{OB}+\vec{OC}=2\vec{OA'}

\vec{OH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}
 \\ 
 \\ \iff \vec{OA}+\vec{AH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}

\iff \vec{AH}={\blue{\vec{OB}+\vec{OC}}}

et  c'est terminé en justifiant par une phrase


Tous ce que je sais c'est que OA=OB=OC sont des rayons du cercle circonscrit à ABC donc le triangle OBC est isocèle.

Posté par
Samsco
re : Barycentre 13 20-09-20 à 23:04

Priam @ 20-09-2020 à 22:43

3. Tu pourrais terminer en montrant que  bcosC = CH  et ccosB = BH .


Comment je peux faire ça ?

Posté par
PLSVU
re : Barycentre 13 21-09-20 à 08:02

non  ta conclusion ne démontre pas que les vecteurs \vec{AH} et \vec{BC} sont orthogonaux

Soit A' le milieu de [BC]

\vec{OB}+\vec{OC}=2\vec{OA'}}

\vec{OH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}
 \\ 
 \\ \iff \vec{OA}+\vec{AH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}

\iff \vec{AH}=\vec{OB}+\vec{OC}=........

relis ce  que tu  écris......
et conclus par une phrase
je laisse Priam , que je salue ,répondre à la question 3  (voir barycentre 12)

Posté par
Samsco
re : Barycentre 13 21-09-20 à 08:07

\vec{AH}=\vec{OB}+\vec{OC}=2\vec{OA'}

Mais je ne vois comment cela nous aide pour montrer que les vecteurs AH et BC sont orthogonaux.

Posté par
PLSVU
re : Barycentre 13 21-09-20 à 08:50

La droite (OA') ......

Posté par
Samsco
re : Barycentre 13 21-09-20 à 15:16

PLSVU @ 21-09-2020 à 08:50

La droite (OA') est perpendiculaire à (BC)


Si c'est le cas , j'aimerais savoir pourquoi ?

Posté par
PLSVU
re : Barycentre 13 21-09-20 à 15:39

Soit ABC un triangle , O le centre de son cercle circonscrit
Ce point O  est le point de concours des ............

Posté par
Samsco
re : Barycentre 13 21-09-20 à 15:46

PLSVU @ 21-09-2020 à 15:39

Soit ABC un triangle , O le centre de son cercle circonscrit
Ce point O  est le point de concours des médiatrices


A' est milieu de [BC] . Vu que
O  est le point de courcours des médiatrices de ABC , O et A' appartiennent à la médiatrice de [BC] donc (OA') et (BC) sont perpendiculaires.
De plus (AH)//(OA') , on en déduit que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires ( les vecteurs AH et BC sont orthogonaux).

Posté par
Samsco
re : Barycentre 13 21-09-20 à 20:35

Pour la question 3- je ne vois pas comment montre que ccosB=BH et bcosC=CH.

Posté par
Samsco
re : Barycentre 13 21-09-20 à 20:56

Samsco @ 21-09-2020 à 20:35

Pour la question 3- je ne vois pas comment montrer que ccosB=BH et bcosC=CH.

Posté par
Priam
re : Barycentre 13 21-09-20 à 21:01

3. Il suffit de regarder la figure et d'utiliser les triangles appropriés.

Posté par
Samsco
re : Barycentre 13 21-09-20 à 21:19

Je regarde la figure mais je ne vois rien d'intéressant.

cosB=BI/AB=BI/c avec I le pieds de la hauteur issue du point A dans le triangle ABC.

Posté par
Priam
re : Barycentre 13 22-09-20 à 09:14

Je me suis mépris à 22h43 à propos de H : le point H est l'orthocentre du triangle ABC. Or, ce n'est pas de l'orthocentre, mais du pied de la hauteur AH (sur le segment BC) que je voulais parler !

Posté par
Samsco
re : Barycentre 13 22-09-20 à 15:40

*cosB=BI/AB
=> cosB=BI/c
*cosC=CI/AC
=> CI=bcosC

\beta+\gamma=\cos A(CI+BI)=\cos A×BC=a \cos A

De même : \alpha+\beta=c \cos C
 \\ 
 \\ \alpha+\gamma=b \cos B


3- O=bar{(G , 3) , (H ,-1)}

Or G=bar{(A , 1) , (B , 1) , (C , 1) et H=bar{(A , \alpha) , (B , \beta) , (C , \gamma)}

Donc \alpha+\beta+\gamma=-1

O=bar{(A , 1+\alpha) , (B , 1+\beta) , (C , 1+\gamma)}

\alpha+\beta+\gamma=-1
 \\ 
 \\ \iff 1+\alpha=-\beta-\gamma
 \\ 
 \\ \iff 1+\beta=-\alpha-\gamma
 \\ 
 \\ \iff 1+\gamma=-\alpha-\beta

O=bar{(A , -\beta-\gamma) , (B , -\alpha-\gamma) , (C , -\alpha-\beta)}

O=bar{(A , \beta+\gamma) , (B , \alpha+\gamma) , (C , \alpha+\beta)}

O=bar{(A , a cos A) , (B , b cos B ) , (C , c cos C)}

Posté par
Samsco
re : Barycentre 13 23-09-20 à 17:27

Alors, c'est bon?

Posté par
PLSVU
re : Barycentre 13 23-09-20 à 18:06


OUI

Posté par
Samsco
re : Barycentre 13 23-09-20 à 20:08

D'accord merci !

Posté par
PLSVU
re : Barycentre 13 23-09-20 à 20:49



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