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Niveau première
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barycentre

Posté par marion (invité) 19-11-03 à 14:59

ABC est un triangle équilatéral de coté de longueur a.
(Г ) désigne l'ensemble des points M de l'espace tels que :
valeur absolue de vecteur MA-2MB+MC = valeur absolue de vecteur MA-4MB+MC

1/ Prouver que le point B est un point de l'ensemble (Г ).
2/ démontrer que le vecteur MA-2MB+MC est indépendant du choix de M.

3/Soit G le barycentre de(A ;1), (B ;- 4), (C ;1) Montrer que M appartient à (Г ) si et seulement si GM = a* (√3/2)

Merci de votre aide car cet exercice me pose problème.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : barycentre 19-11-03 à 16:51

1/

Si M est en B   (1)
vect(MB) = 0
vect(MA) = vect(BA)
vect(MC) = vect(BC)

vect(MA)-2.vect(MB)+vect(MC) = vect(BA)-2.vect(0)+vect(BC)  
vect(MA)-2.vect(MB)+vect(MC) = vect(BA)+vect(BC)    (2)

vect(MA)-4.vect(MB)+vect(MC) = vect(BA)-4.vect(0)+vect(BC)  
vect(MA)-4.vect(MB)+vect(MC) = vect(BA)+vect(BC)     (3)

(2) et (4) ->
vect(MA)-2.vect(MB)+vect(MC) = vect(MA)-4.vect(MB)+vect(MC)
|vect(MA)-2.vect(MB)+vect(MC)| = |vect(MA)-4.vect(MB)+vect(MC)|    (4)

Donc en partant de (1), on aboutit à (4) -> B est un point de l'ensemble

---
2/

vect(MB) = vect(MA) + vect(AB)
vect(MC) = vect(MA) + vect(AC)

vect(MA)-2.vect(MB)+vect(MC) = vect(MA)-2.( vect(MA) + vect(AB)) + vect(MA) + vect(AC)
vect(MA)-2.vect(MB)+vect(MC) = vect(MA)-2.vect(MA) - vect(AB) + vect(MA) + vect(AC)
vect(MA)-2.vect(MB)+vect(MC) =  - vect(AB) + vect(AC)

Le membre de droite est indépendant de M.
Ceci montre que le membre de gauche est le même quel que soit le point
M choisi.
---
3/
La fin pour toi.



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