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Barycentre d'un triangle à partir des côtés

Posté par
matto7712 27-10-13 à 12:42

Bonjour amis matheux
Mon énoncé:

Citation :
on demande de déterminer une formule générale qui exprime les coordonnées du barycentre d'un triangle en termes des équations des droites
$$ \\ y=m_1x+p_1 \\ y=m_2x+p_2 \\ y=m_3x+p_3 \\ $$
qui supportent les côtés de ce triangle.
Les réponses seront des expressions - plus ou moins compliquées - ne dépendant que de $m_1$, $m_2$, $m_3$, $p_1$, $p_2$ et $p_3$.

J'ai commencé par calculer les points d'intersection de ces droites (en l'occurrence, les sommets du triangle):
$$ \\ A(\frac{q_3-q_2}{m_2-m_3}, \frac{m_2q_3-m_3q_2}{m_2-m_3}) \\ \\ B(\frac{q_3-q_1}{m_1-m_3}, \frac{m_1q_3-m_3q_1}{m_1-m_3}) \\ \\ C(\frac{q_2-q_1}{m_1-m_2}, \frac{m_1q_2-m_2q_1}{m_1-m_2}) \\ \\ $$
Mainenant on peut trouver le barycentre qui a pour coordonnées (\frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3}).
Ce qui nous donne comme coordonnée $x$:
\\ $$ \\ \frac{\frac{q_3-q_2}{m_2-m_3}+\frac{q_3-q_1}{m_1-m_3}+\frac{q_2-q_1}{m_1-m_2}}{3} \\ $$ \\
Seulement voilà, en développant cette fraction, on obtient une fraction longue, longue... qui, je pense, n'est pas la réponse souhaitée.
Connaissez-vous une autre méthode pour y arriver? Ou encore un moyen de simplifier cette fraction?

Merci d'avance,
matto7712

Posté par
flightre : Barycentre d'un triangle à partir des côtés 27-10-13 à 13:16

salut

chacun des sommets est affecté du coefficient 1 , puisque le centre de gravité du triangle est l'isobarycentre de celui ci

par contre d'ou sortent les qi ? (q1,q2,q3) !

Posté par
flightre : Barycentre d'un triangle à partir des côtés 27-10-13 à 13:20

pour obtenir les intersections entre les droites D1 et D2

on chercher x tel que m1.x + p1 = m2.x + p2   et on trouve x = (p2-p1)/(m1-m2)  et y = (m1.p2 - m2.p1)/(m1-m2)

c'est donc le couple de points ( x=(p2-p1)/(m1-m2)  ;  y=(m1.p2 - m2.p1)/(m1-m2))

Posté par
matto7712re : Barycentre d'un triangle à partir des côtés 27-10-13 à 13:30

D'où sortent les $q$? Eh bien, j'ai juste remplacé $p_1, p_2, p_3$ par $q_1, q_2, q_3$, juste parce que j'ai plus l'habitude comme ça
Sinon, les intersections, je les ai déjà calculées hein Ce que je cherche, ce ne sont pas les sommets mais le barycentre (à moins que je ne t'aie mal compris).

Posté par
flightre : Barycentre d'un triangle à partir des côtés 27-10-13 à 13:37


en ayant trouvé les coordonnées

simplement  

xg = .xa + xb  + xc / (++)

yg = .ya + yb  + yc / (++)

si tu recherche le centre de gravité du triangle dans ce cas ===1

Posté par
matto7712re : Barycentre d'un triangle à partir des côtés 27-10-13 à 13:43

Donc on obtient (xA+xB+xC)/3, comme je disais. Sauf que j'obtiens une fraction impotable

Posté par
flightre : Barycentre d'un triangle à partir des côtés 27-10-13 à 14:54

ben non justement tout s'exprime parfaitement en fonction des pi et des mi  et vu que tu a remplacé tes p par des q

il suffit juste de simplifier ta fraction

Posté par
matto7712re : Barycentre d'un triangle à partir des côtés 27-10-13 à 15:31

Justement c'est là que ça pose problème... J'obtiens cette fraction:
\frac{q_1m_2^2-q_1m_3^2-q_2m_1^2+q_2m_3^2+q_3m_1^2-q_3m_2^2+2(-q_1m_1m_2+q_1m_1m_3+q_2m_1m_2-q_2m_2m_3-q_3m_1m_3+q_3m_2m_3)}{3(m_1^2m_2-m_1^2m_3-m_2^2m_1+m_2^2m_3+m_3^2m_1-m_3^2m_2)}
Si tu savais me la simplifier, ça m'aiderait grandement


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