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Barycentre dans un triangle équilatéral.

Posté par
matheux14
21-07-20 à 23:45

Bonsoir,

Merci d'avance.

ABC est un triangle équilatéral.

Soit D le symétrique de B par rapport à A.

G est défini par : \vec{DG}=\dfrac{2}{3}\vec{AC}

Démontrer que G est le barycentre des points pondérés (A,4) , (B,-3) et (C,2).

Réponses

On a :

(En vecteurs)

DG=(2/3)AC

DB+BG=(2/3)AG+(2/3)GC

BG=(2/3)AG+(2/3)GC-(DG+GB)

BG=(2/3)AG+(2/3)GC-DG-GB

BG-(2/3)AG-(2/3)GC+DG+GB=0

C'est là que je bloque..

Posté par
larrech
re : Barycentre dans un triangle équilatéral. 22-07-20 à 08:38

Bonjour,

Encore une fois, personnellement je préfère partir de 4\vec{GA}-3\vec{GB}+2\vec{GC}.

Si j'arrive à montrer que cette somme est nulle, j'ai gagné.

Posté par
Prototipe19
re : Barycentre dans un triangle équilatéral. 22-07-20 à 08:39

Hello ! Essaies d'introduire le point G sur ton expression de droite

Posté par
Prototipe19
re : Barycentre dans un triangle équilatéral. 22-07-20 à 08:47

Tintroduit le point B à droite et tu verras que par la suite l'hypothèse selon laquelle D symétrie de B par rapport  à A vas nous êtres d'une grande utilité

Posté par
Prototipe19
re : Barycentre dans un triangle équilatéral. 22-07-20 à 08:48

Prototipe19 @ 22-07-2020 à 08:47

Tintroduit le point B à droite et tu verras que par la suite l'hypothèse selon laquelle D symétrie de B par rapport  à A vas nous êtres d'une grande utilité


PS: introduire le point B plutôt dans ton expression de droite .

Posté par
Prototipe19
re : Barycentre dans un triangle équilatéral. 22-07-20 à 08:50

De gauche je veut dire désolé petit soucis de clavier.  Alors résumons.

Je te propose d'introduire le point G dans ton expression de droite et le point B dans ton expression de gauche.


Dans un premier temps tu pourras faire disparaître la fraction à droite de ton égalité en multipliant par 3 .,

Posté par
matheux14
re : Barycentre dans un triangle équilatéral. 22-07-20 à 09:51

Bonjour ,

(En vecteurs)


4GA-3GB+2GC

=4(GD+DA)-3(GD+DB)+2(GD+DC)

=4GD+4DA-3GD-3DB+2GD+2DC

=4(-2/3)AC+4DA-3(-2/3)AC-3DB+2(-2/3)AC+2DC

=-2AC+3BD+4DA+2DC

=-2AC+7BA+2AC

=2CA+7BA+2DC

=2DC+2CA+7BA

=4DA+7BA

Or D est l'image de B par rapport à la symétrie centrale de centre A.

D'où \vec{BA}+\vec{DA}=\vec{0}

Donc 4\vec{GA}-3\vec{GB}+2\vec{GC}=11(\vec{BA}+\vec{DA})=11\vec{0}


Je ne sais pas pourquoi le fait que ABC est équilatéral n'intervient pas quelque part dans mes calculs ...

Posté par
matheux14
re : Barycentre dans un triangle équilatéral. 22-07-20 à 09:53

Prototipe19 ok , après avoir réglé ce petit pb là j'essaierai

Posté par
Priam
re : Barycentre dans un triangle équilatéral. 22-07-20 à 09:56

Bonjour,
Dans le calcul en réponse de ton 1er message, tu aurais mieux fait, au passage de la 1ère à la 2ème ligne, de ne pas décomposer le vecteur DG.

Posté par
matheux14
re : Barycentre dans un triangle équilatéral. 22-07-20 à 10:22

J'ai fait celà à cause du point D ..

Posté par
larrech
re : Barycentre dans un triangle équilatéral. 22-07-20 à 11:19

Citation :
=-2AC+3BD+4DA+2DC
Ok jusque là, ensuite

=-2AC+4DA-6DA+2DC  (puisque BD=-2DA)
=-2AC-2DA+2DC
=-2DC+2DC
=0

Effectivement je ne vois pas où intervient le fait que ABC soit équilatéral.

Posté par
matheux14
re : Barycentre dans un triangle équilatéral. 22-07-20 à 12:15

Bof.. çà aura servi à rien...

Merci



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