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barycentre dm besoin d aide (Droite d Eule d un triangle)
bonjour, j'ai un DM pour jeudi et j'ai vraiment besoin d'aide.
Soit ABC un triangle, A',B' et C' les miliuex respectif des cotes [BC], [AC], et [AB]. on note O le centre du cercle circonscrit au triangle.
1) Soit H le point du plan defini par: OH= OA+OB+OC
a)Montrer que:
OB+OC= 2OA'
b) en deduire AH en fonction de OA'
c)Montrer que la droite (AH) est perpendiculaire a la droite (BC)
d)Pourquoi a t on aussi (BH) perpendiculaire a (AC)?
En deduire la nature du point H pour le triangle ABC
2) On note G le centre de gravité du triangle ABC.
a)Montrer que OH=3OG
b)Dans quel cas a-t-on O=G=H
c)Le cas precedent excepté, montrer que les points O, G et H sont alignés sur une droite que l'on appelle la droite D'euler du triangle.
d)Montrer que le resultat precedent reste valable si le triangle est rectangle.
Merci d'avance pour votre aide.
pour la première question :
(mais je ne vois pas le rapport avec les barycentres)
OB+ OC = 0A' + A'B + OA' + A'C
comme A' milieu de bc A'B + A'C = 0
D'où OB + OC = 2OA'
b)
OH = OA + OB + C
OH = OA + 2OA'
OA + AH - OA = 2OA'
AH = 2OA'
c)
(OA') perpendiculaire (BC) puisque OA' médiatrice (cercle circonscrit, vieux cours à reprendre ! )
AH et OA' vecteurs colinéaires
AH parallèle OA'
donc AH perpendiculaire à BC
d)
il faut tout reprendre avec BH et B'
H est l'orthocentre (intersection des hauteurs)
2)
b) triangle équilatéral
c) OG = 3OH donc les vecteurs OH et OG sont colinéaires donc O, G et H alignés
voilà il reste que la 2) a en cherchant bien tu dois pouvoir trouver bon courage !
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