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Barycentre et points alignés.
Bonjour ,
Merci d'avance.
ABCD est un parallélogramme.
I est le milieu de [AB] et E le point de [ID] tel que IE=(1/3)ID.
Il s'agit d'établir que A , E et C sont alignés.
1) Écrire E et C comme barycentre de A , B et D.
2) En déduire que E est le barycentre de (A,2) et (C,1) et conclure.
Réponses
1)* On a IE=(1/3) ID d'où E=bar{(I,2) ;(D,1)}
Or I est le milieu de [AB].
Donc I est l'isobarycentre des points A et B.
Donc E=bar{(A,1) ;(B,1) ;(D,1)}
*ABCD étant un parallélogramme ,
D'où
Donc C=bar{(A,-1) ;(B,1) ;(D,1)}
2) Je n'ai pas su le déduire mais je suis passé par
(En vecteurs)
2EA+EC
=2(EI+IA) +ED+DC
=2EI+2IA+ED+DC
=2EI+BA+ED+DC
=2EI+ED=0 car IE=(1/3)ID.
Donc 2EA+EC=0
D'où E=bar{(A,2);(C,1)}
Alors les points A , E et C sont alignés.
Maintenant j'aimerais faire la déduction mais je n'y arrive pas..
Bonjour,
2° Pour faire cette déduction, tu pourrais partir de la définition barycentrique du point E établie au 1° et modifier l'écriture de cette expression pour y faire apparaître celle du point C.
En écriture simplifiée :
E bar A1 B1 D1
C bar A-2 B2 D2
E bar A2 B2 D2
Reste à modifier A2 pour faire apparaître A-2 .
La dernière ligne est erronée. Elle ne fait d'ailleurs pas apparaître le A-2 de C.
Il faut remplacer, dans E de l'avant-dernière ligne, A2 par A4, A-2 .
Bon ... Je commence à m'y perdre..
1) Comment devrais je faire ?
2) Comment devrais je en déduire de 1) ?
Les trois derniers termes de E reproduisant ainsi l'expression barycentrique de C, on peut les remplacer par C avec un coefficient égal à - 2 + 2 + 2 = 2 .
Oui , car C=bar {(A,-1) ; (B,1) , (D,1)} <==> C=bar{(A,-2) ;(B,2) ;(D,2)}
Donc E=bar{(A,4) ;(C,-2+2+2)} par le barycentre partiel..
Donc E=bar{(A,4);(C,2)}
En simplifiant çà donnc
E=bar{(A,2);(C1)}
Merci 
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