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Barycentre et points alignés.

Posté par
matheux14
22-07-20 à 17:31

Bonjour ,

Merci d'avance.

ABCD est un parallélogramme.

I est le milieu de [AB] et E le point de [ID] tel que IE=(1/3)ID.

Il s'agit d'établir que A , E et C sont alignés.

1) Écrire E et C comme barycentre de A , B et D.

2) En déduire que E est le barycentre de (A,2) et (C,1) et conclure.


Réponses

1)* On a IE=(1/3) ID d'où E=bar{(I,2) ;(D,1)}

Or I est le milieu de [AB].

Donc I est l'isobarycentre des points A et B.

Donc E=bar{(A,1) ;(B,1) ;(D,1)}


*ABCD étant un parallélogramme , \vec{AD}=\vec{BC}

D'où \vec{BC}-\vec{AC}+\vec{DC}=\vec{0}

Donc C=bar{(A,-1) ;(B,1) ;(D,1)}

2) Je n'ai pas su le déduire mais je suis passé par

(En vecteurs)

2EA+EC

=2(EI+IA) +ED+DC

=2EI+2IA+ED+DC

=2EI+BA+ED+DC

=2EI+ED=0 car IE=(1/3)ID.

Donc 2EA+EC=0

D'où E=bar{(A,2);(C,1)}

Alors les points A , E et C sont alignés.

Maintenant j'aimerais faire la déduction mais je n'y arrive pas..

Posté par
Priam
re : Barycentre et points alignés. 22-07-20 à 18:29

Bonjour,
2° Pour faire cette déduction, tu pourrais partir de la définition barycentrique du point E établie au 1° et modifier l'écriture de cette expression pour y faire apparaître celle du point C.

Posté par
matheux14
re : Barycentre et points alignés. 23-07-20 à 10:28

Je ne vois pas comment faire celà..

Posté par
Priam
re : Barycentre et points alignés. 23-07-20 à 11:05

En écriture simplifiée :

E bar A1 B1 D1  

C bar A-2 B2 D2

E bar A2 B2 D2

Reste à modifier A2 pour faire apparaître A-2 .

Posté par
matheux14
re : Barycentre et points alignés. 23-07-20 à 11:37

Ok ,

E bar A1 B1 D1  

C bar A-2 B2 D2

E bar A2 B2 D2

E bar A-1 A-1 B2 D2

Posté par
Priam
re : Barycentre et points alignés. 23-07-20 à 12:11

La dernière ligne est erronée. Elle ne fait d'ailleurs pas apparaître le  A-2  de C.
Il faut remplacer, dans E de l'avant-dernière ligne,  A2  par  A4, A-2 .

Posté par
matheux14
re : Barycentre et points alignés. 23-07-20 à 12:16

Ok

E bar A1 B1 D1  

C bar A-2 B2 D2

E bar A2 B2 D2

E bar A4 A-2 B2 D2

Posté par
matheux14
re : Barycentre et points alignés. 23-07-20 à 12:40

Bon ... Je commence à m'y perdre..

1) Comment devrais je faire ?

2) Comment devrais je en déduire de 1) ?

Posté par
Priam
re : Barycentre et points alignés. 23-07-20 à 12:48

Les trois derniers termes de E reproduisant ainsi l'expression barycentrique de C, on peut les remplacer par C avec un coefficient égal à  - 2 + 2 + 2 = 2 .

Posté par
matheux14
re : Barycentre et points alignés. 23-07-20 à 13:00

Oui , car C=bar {(A,-1) ; (B,1) , (D,1)} <==> C=bar{(A,-2) ;(B,2) ;(D,2)}

Donc E=bar{(A,4) ;(C,-2+2+2)} par le barycentre partiel..

Donc E=bar{(A,4);(C,2)}

En simplifiant  çà donnc

E=bar{(A,2);(C1)}

Merci

Posté par
Priam
re : Barycentre et points alignés. 23-07-20 à 14:23



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