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besoin aide barycentres

Posté par
GuigX
18-11-04 à 17:44

s'il vous plait j'ai des difficultés pour un exercice
dont voici l'énoncé :
Soit ABCD un tétraèdre
On note I,J les milieux respectifs des segments[AB] et [BC] . Soit K le barycentre des points (A;1) et (D;3). Les droites (IC) et (AJ) se coupent en G. Démontrer quel es droites (IL) et (JK) sont sécantes en un point H, milieu du segment [DG].

Posté par claireCW (invité)re : besoin aide barycentres 18-11-04 à 17:59

Est-ce que tu peux corriger ou préciser ton énoncé : c'est quoi, le point L ?

Posté par
GuigX
re : besoin aide barycentres 18-11-04 à 18:02

désolé
L est le barycentre de (C;1) et (D;3) .

Posté par
franz
re : besoin aide barycentres 18-11-04 à 18:02

Tu ne dis pas comment est défini L.

Posté par
GuigX
re : besoin aide barycentres 18-11-04 à 18:05

oui pardon je me suis corrigé

Posté par jmaths (invité)Je crois avoir trouvé 18-11-04 à 18:39

H milieu de [DG] donc H = bar {(D,3);(G,3)}.
G intersection de deux médianes du triangle ABC.
Donc, G = bar {(A,1);(B,1);(C,1)}.
Donc, par associativité, H = bar {(D,3);(A,1);(B,1);(C,1)}.
H = bar {(D,3);(A,1);(B,1);(C,1)}.
H = bar {(K,4);(J,2)}.
H = bar {(L,4);(I,2)}. Toujours pas associativité.

Donc, H sur (JK) et H sur (LI). D'où la conclusion.

Posté par claireCW (invité)re : besoin aide barycentres 18-11-04 à 18:46

G est l'inetrsection de deux médianes, dans le triangle ABC, donc G est l'isobarycentre de A, B, et C.

G barycentre de (A,1)(B,1)(C,1)


H est le barycentre de (G,1)(D,1) (puisque c'est le milieu de [DG]

Cela peut aussi s'écrire

H barycentre de (G,3)(D,3)
soit H barycentre de (A,1)(B,1)(C,1)(D,3)
d'où H barycentre de (I,2)(L,4), ce qui signifie que H appartient à (IL)

En regroupant différemment, on obtient aussi :
H barycentre de (B,1)(C,1)(A,1)(D,3), d'où H barycentre de (J,2)(K,4), ce qui signifie que H appartient à (JK)

d'où on conclue que (IL) et (JK) sont sécantes en H milieu de [DG]

Posté par
GuigX
re : besoin aide barycentres 18-11-04 à 18:49

merci beaucoup jmaths
jene te remercierais jamais assez

Posté par
GuigX
re : besoin aide barycentres 18-11-04 à 18:51

merci ossi a toi claire CW

Posté par
franz
re : besoin aide barycentres 18-11-04 à 18:57

4\vec{DK}=\vec{DA}
4\vec{DL}=\vec{DC} et par différence
4(\vec{DL}-\vec{DK})=\vec{DC}-\vec{DA}
4\vec{KL}=\vec{AC}

De même
2\vec{IJ}=\vec{AC}

D'où
2\vec{KL}=\vec{IJ}
2(\vec{KH}+\vec{HL})=\vec{IH}+\vec{HJ}
2\vec{KH}-\vec{HJ}=-2\vec{HL}+\vec{IH}

Or
H \in (JK) donc 2\vec{KH}-\vec{HJ} colinéaire à 2\vec{JK}
H \in (IL) donc  -2 \vec{HL}+\vec{IH} colinéaire à 2\vec{IL}
2\vec{IL} et 2\vec{JK} ne son pas colinéaires donc
2\vec{KH}-\vec{HJ}=-2\vec{HL}+\vec{IH} = \vec{O}

On reprend les définitions du barycentre à partir de
\vec O = 2\vec{HK}+\vec{HJ} = 2 (\frac 1 4 \vec{HA} + \frac 3 4 \vec{HD}) + (\frac 1 2 \vec{HB} +\frac 1 2 \vec{HC} )
càd

\vec O = 3 \vec{HD} + \underbrace{ \vec{HA} + \vec{HB}+ \vec{HC} }
     \vec O = 3 \vec{HD} + 3 \vec{HG}
car G à l'intersection des médianes [AJ] et [CI] du triange (ABC) est l'isobarycentre de (A,B,C)



H est bien le milieu de DG



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