Bonjour, et bonne année.
Je suis face à un exercice:
f(x) = x^3 + 4x² + 3x + 1 .
1/ Déterminer un réel strictement positif M tel que pour h vérifiant |h| < 1, on ai |f(1+h)-9-14h| =< Mh²
2/ Ecrire le développement limité d'ordre 1 de f au point 1.
3/ Quel est le nombre dérivé de f en 1 ?
4/ Donner une approximation de f(0,994) et f(1,0043) et un majorant de l'erreur commise.
Moi ce que j'ai fais:
1/ j'y arrive pas du tout. Si vous pouviez m'aider svp
2/ f(1) = 9
f(1+h) = 9 + 14h + 7h² + h^3
f(1+h) = f(1) + 14h +7hxh + hxhxh .
Je suis bloquer ici, du moins j'arrive pas à finir. Si vous pouviez m'aider svp.
3/ Le nombre dérivé de f en 1 est f'(1) = 14
4/ J'y arrive pas vu que J'arrive pas à finir l'exo 2/ .
Merci par avance pour votre aide. Bonne journée.
Bonjour
Tu as : f(1+h)-9-14h = h²(h+7)
Donc ..............
f'(x)=3x²+8x+3
Donc f'(1)=14
f(0.994)=f(1-6*(10^-3))
Or f'(x)=(f(x+h)-f(x))/h
Et f(x+h)=f(x)+h*f'(x)
Donc f(0.994)=f(1)-6*(10^-3)*f'(1)
Donc f(0.994)=9-6*(10^-3)*14
Donc f(0.994)=8.916
De la même méthode tu fais :
f(1.0043)=f(1)+0.0043*(f'(1))
Donc f(1.0043)=9.0602
Donc .....................
Cordialement Yalcin
Pour le 1)
Vu que |h|<1
alors -1<h<1
Donc |f(1+h)-9-14h|< M h²
=> |h²|*|h+7|< M h²
=> |h+7|< M
M=7+1=8
Pour -1<h<1
Salut Yalcin, merci.
Mais j'ai pas tout compris. Je récapitule:
1/ |f(1+h)-9-14h| =< Mh²
Je suis d'accord donc que -1<h<1 vu que |h|<1 .
=> |h²|*|h+7|< M h²
=> |h+7|< M
M=7+1=8
Pour -1<h<1
Comment tu obtiens h+7 ?
Pourquoi on ne tiens pas compte de h^3 ?
Le 2/ , on peut faire sauté h^3 ?
( je suis mal barré )
f(1+h)-9-14h=h^3+7h²=h²(h+7)
Donc |f(1+h)-9-14h|< M h²
=> |h²(h+7)|< M h²
Or h² est toujours positif (je suppose que h n'est
pas égal à 0, car on étudies les dérivées)
Donc h²=|h²|
Donc on a : |h+7|<M
Cordialement Yalcin
Re-salut, merci pour tes explications.
Mais j'ai encors une question. Si on prends h=-1 ou h=1 , au final |f(1+h)-9-14h|< M h² , on obtient toujours une égalitée !!!
f(1+h) => f(0)=1 et/ou f(2)=31 Maintenant j'obtient toujours une égalité. Et dans les deux cas, M est strictement positif et vérifie -1<h<1 .
Comment choisir? A moins que je me plante dans le raisonnement ...
Merci encors.
|f(1+h)-9-14h|=< M h² je veux dirs. ( suppérieur ou egale ) comme je l'avais préciser dans le premier poste.
enfin inférieur ou égale, désolé sur ma feuille je l'avais mis dans l'autre sens lol. Mais ca change pas le fait qu'il y a l'egalité.
je ne comprends pa sta question, moi aussi je suis en 1ère S, et en ce moment on fait les dérivées nous aussi, mais on a pas vu le développemt limité, je crosi qu'on le sfait en math sup, et prépas, genre
1/(1-x)=1+x+x²+x^3+.....
Je crois un truc comme ça, y'a aussi cos(x)=sum(k=1,+oo;f(x))
Etc........
il faut lire :
f(1+h)-9-14h=h^3+7h²=h²(h+7)
Donc |f(1+h)-9-14h|< M h²
=> |h²(h+7)|< M h²
Or h² est toujours positif (je suppose que h n'est
pas égal à 0, car on étudies les dérivées)
Donc h²=|h²|
Donc on a : |h+7| <= M
Cordialement Yalcin
Oui |h+7| <= M , mais M ce n'est pas |h+7| ?
Ce que je veux dirs c'est que si je dis que M=8 , on aura une égalité. M=8 on l'obitent avec h=1 .
Mais h peut aussi etre égale a -1 . Et dans ce cas M=6 et ca produit aussi une égalité.
Or on me demande de détrminer un réel strictement positif de M tel que h vérifiant |h|<1 . Ces deux valeurs de M vérifient bien les conditions.
Lequel prendre ? Ca dois forcement être 8 car le plus grand?
regards si tu mets M=6 alors on a :
|h+7|<= 6
Or si je choisies h=1 alors j'ai |1+7|=8
Donc 8<=6 ce qui est ?
J'explique comment j'ai obtenu M=6 . si je prend h=-1 Donc f(1+h) = f(0) = 1
Maintenant si je remplace f(1+h) dans |f(1+h)-9-14h|<= M h²
Alors ca fais: |1-9+14| =< Mh² Donc |6| < Mh²
Or, M = h+7 Donc M=-1+7 Donc M=6 h²= -1 x -1 = 1
Donc |6| =< 6 Cela est pour uniquement h=-1 . Si on fait la meme chose avec h=1 , alors on aura: |8| =< 8 .
Je sais pas si tu vois ce que je veux dirs.
Oui mais, s'il y a <= et que tu vois égal, ça veut pas dire qu'il faut chercher tous les valeurs pour que cela soit égale , mais 8 convient parfaitement
ok merci . C'est juste que l'égalité marche pour -1 et 1 qui sont les deux chiffres du cas |h|<1 .
Je vais mettre 8, Merci de ta patience, et de ton aide
de riennnnnnnnnnnnnnnnnn
énervé un peu, t'es une fille ?
Salut,
Je traite les dérivées et mon problème est très simple.
J'ai la fonction suivante:
f(x)= x^3 + 4x^2 + 3x + 1 .
On me demande:
Donner une approximation de f(0.994) et f(1.0043) et un majorant de l'erreur commise .
Quelqu'un pourai me donner un procédé clair s'il vous plait?
Je pensais a remplacer x par sa valeur 0.994 et 1.0043. Mais j'attend des avis.
Le majorant de l'erreur commise, j'ai aucune idée de comment le trouver . Je voudrai comprendre comment résolver ce type de question ( approximation - majorant ).
Merci par avance et bonne journée.
*** message déplacé ***
Bonjour,
J'ai pensé que pour résoudre ce probleme on pourrait appliquer la formule de Taylor avec reste de Lagrange (par exemple). la partie réguliere donnerait l'approximation et une majoration de l'erreur s'obtient en majorant le reste.
Il se trouve que je n'en suis pas sure vu que la fonction est polynomiale le reste devient nul à partir de l'arde 4, on aura la valeur exacte et alors la méthode n'a plus de sens.
je laisse donc la parole aux collegues du forum,
sorry d'avoir papoté pour rien
bon courage
*** message déplacé ***
Oula, c'est pas de mon niveau Taylor et Lagrange. Je sais pas ce que c'est .
Il ya forcement un moyen simple non? Je souhaiterai en fait obtenir une méthode pour resoudre cette exercice simplement
*** message déplacé ***
Ok merci.
Quelqu'un pour m'aider svp? De l'aide serai pas de refu
merci d'avance
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