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Niveau première
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Bijection dans lR ×lR

Posté par
Othnielnzue23
01-12-19 à 23:16

Bonsoir , veuillez m'aider à faire ce petit exo .

Démontrer que f est bijective et déterminer sa bijection réciproque.

f:lR×lR ----->lR×lR
                         (x;y)|------->(x-2y;x+3y).

Merci .

Posté par
Mminicoco
re : Bijection dans lR ×lR 01-12-19 à 23:29

Hello !

Euh tu es sûr qu'on te demande ça en première ???
Non parce que je veux bien t'expliquer mais pour des premières voir la bijection c'est un peu chaud !

Posté par
Othnielnzue23
re : Bijection dans lR ×lR 01-12-19 à 23:34

Et oui , j'aimerais bien qu'on m'aide.

Posté par
Mminicoco
re : Bijection dans lR ×lR 01-12-19 à 23:55

Waou ok !
Donc pour montrer une bijection il faut que la fonction soit injective (au plus un antécédent) ET surjective (au moins un antécédent).
Il faut donc démontrer chacun.
Pour injectif: prends un x et un y et cherche tq f(x)=f(y)
Pour surjectif prends un y, et cherche tq y=f(x)

Posté par
Zormuche
re : Bijection dans lR ×lR 02-12-19 à 00:00

est-ce que Othnielnzue23 a vu une telle définition de bijectivité, et a posteriori, d'injectivité et surjectivité ?
Si on lui demande ça c'est qu'il a dû le voir quelque part, mais où ?

Posté par
Mminicoco
re : Bijection dans lR ×lR 02-12-19 à 00:07

Injectif:

Montrons que f est injective. Soient (x,y),(x',y')∈IR² tels que f(x,y) =f(x',y')
Alors (x-2y,x+3y) = (x'-2y',x'+3y')
On obtient ce système :       x-2y = x'-2y'
                                                            x+3y = x'+3y'
En faisant la somme des lignes de ce système on trouve 2x+y=2x'+y' .
Je te laisse en déduire la suite et si x=x' et y=y' c'est injectif.

Montrons que f est surjective. Soit (X,Y)∈IR², cherchons lui un antécédent (x,y) par f. Un tel antécédent vérifie f(x,y) = (X,Y), donc (x-2y,x+3y) = (X,Y) ou encore :
                                 x-2y = X
                                 x+3y = Y
En sommant les lignes on obtient: x = (X+Y-y)/2 et y=(X+Y-2x)
Si ce couple qu'on a obtenu est solution, alors f est surjective.

Si f est surjective et injective, f admet une bijection.

Posté par
Mminicoco
re : Bijection dans lR ×lR 02-12-19 à 00:09

Zormuche @ 02-12-2019 à 00:00

est-ce que Othnielnzue23 a vu une telle définition de bijectivité, et a posteriori, d'injectivité et surjectivité ?
Si on lui demande ça c'est qu'il a dû le voir quelque part, mais où ?


Bonsoir, oui c'est totalement bizarre, une telle définition n'est pas vue au programme de première dans aucun des filières et pour être assimilée il faut forcément passer pas la méthode d'injectivité et surjectivité. Au moins par un dessin qui représente la bijection. Cependant parler de bijection et bijection réciproque, même en DM, je trouve cela un peu limite !

Posté par
Zormuche
re : Bijection dans lR ×lR 02-12-19 à 00:13

Oui, mais ce que je voulais dire c'est que s'il connait les définitions de bijectivité, injectivité et surjectivité (ne me demandez pas comment) alors il n'y a aucune difficulté à faire cet exercice

sinon, alors il n'y a aucun intérêt à le faire puisqu'il ne sait pas ce que c'est

Posté par
Mminicoco
re : Bijection dans lR ×lR 02-12-19 à 00:18

Bien-sûr vous avez totalement raison ! À lui de nous le dire ...

Posté par
Othnielnzue23
re : Bijection dans lR ×lR 02-12-19 à 00:26

Si je suis en 1ere S , alors je me dis que je dois bosser les maths , quelque soit l'exo ...

Posté par
Mminicoco
re : Bijection dans lR ×lR 02-12-19 à 08:33

Oui c'est mieux XD
Mais c'était juste pour savoir si tu as les éléments afin de pouvoir le faire cet exo !
Mais c'est une bonne mentalité !
Tu as compris ce que j'ai marqué ?

Posté par
malou Webmaster
re : Bijection dans lR ×lR 02-12-19 à 08:52

Mminicoco
Bijection dans lR ×lR

Posté par
Mminicoco
re : Bijection dans lR ×lR 02-12-19 à 09:15

*malou>citation inutile supprimée*
Bonjour,
Je ne fais nullement son exercice à sa place, c'est bien pour cela que je lui ai laissé des lignes à compléter. Cependant, vous qui êtes professeur, vous serez bien d'accord sur le fait que commencer un exercice de bijection en première S sans avoir ne serait-ce un début de méthode surtout pour des mots tels que "surjectif" et "injectif" sont bien difficiles. Mais il est vrai que j'aurais dû prendre un autre exemple plus simple afin de lui montrer
Merci à vous, bonne matinée

Posté par
Othnielnzue23
re : Bijection dans lR ×lR 02-12-19 à 10:26

Mminicoco @ 02-12-2019 à 08:33

Oui c'est mieux XD
Mais c'était juste pour savoir si tu as les éléments afin de pouvoir le faire cet exo !
Mais c'est une bonne mentalité !
Tu as compris ce que j'ai marqué ?
oui parfaitement.



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