Bonsoir , veuillez m'aider à faire ce petit exo .
Démontrer que f est bijective et déterminer sa bijection réciproque.
:lR×lR ----->lR×lR
(x;y)|------->(x-2y;x+3y).
Merci .
Hello !
Euh tu es sûr qu'on te demande ça en première ???
Non parce que je veux bien t'expliquer mais pour des premières voir la bijection c'est un peu chaud !
Waou ok !
Donc pour montrer une bijection il faut que la fonction soit injective (au plus un antécédent) ET surjective (au moins un antécédent).
Il faut donc démontrer chacun.
Pour injectif: prends un x et un y et cherche tq f(x)=f(y)
Pour surjectif prends un y, et cherche tq y=f(x)
est-ce que Othnielnzue23 a vu une telle définition de bijectivité, et a posteriori, d'injectivité et surjectivité ?
Si on lui demande ça c'est qu'il a dû le voir quelque part, mais où ?
Injectif:
Montrons que f est injective. Soient (x,y),(x',y')∈IR² tels que f(x,y) =f(x',y')
Alors (x-2y,x+3y) = (x'-2y',x'+3y')
On obtient ce système : x-2y = x'-2y'
x+3y = x'+3y'
En faisant la somme des lignes de ce système on trouve 2x+y=2x'+y' .
Je te laisse en déduire la suite et si x=x' et y=y' c'est injectif.
Montrons que f est surjective. Soit (X,Y)∈IR², cherchons lui un antécédent (x,y) par f. Un tel antécédent vérifie f(x,y) = (X,Y), donc (x-2y,x+3y) = (X,Y) ou encore :
x-2y = X
x+3y = Y
En sommant les lignes on obtient: x = (X+Y-y)/2 et y=(X+Y-2x)
Si ce couple qu'on a obtenu est solution, alors f est surjective.
Si f est surjective et injective, f admet une bijection.
Oui, mais ce que je voulais dire c'est que s'il connait les définitions de bijectivité, injectivité et surjectivité (ne me demandez pas comment) alors il n'y a aucune difficulté à faire cet exercice
sinon, alors il n'y a aucun intérêt à le faire puisqu'il ne sait pas ce que c'est
Oui c'est mieux XD
Mais c'était juste pour savoir si tu as les éléments afin de pouvoir le faire cet exo !
Mais c'est une bonne mentalité !
Tu as compris ce que j'ai marqué ?
*malou>citation inutile supprimée*
Bonjour,
Je ne fais nullement son exercice à sa place, c'est bien pour cela que je lui ai laissé des lignes à compléter. Cependant, vous qui êtes professeur, vous serez bien d'accord sur le fait que commencer un exercice de bijection en première S sans avoir ne serait-ce un début de méthode surtout pour des mots tels que "surjectif" et "injectif" sont bien difficiles. Mais il est vrai que j'aurais dû prendre un autre exemple plus simple afin de lui montrer
Merci à vous, bonne matinée
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