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Niveau première
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Bloquer pour une étude de fonction

Posté par
Calippo
03-05-22 à 22:14

Bonsoir,
J'ai une étude de fonction à réaliser mais je bloque sur l'étude du signe de la dérivée.

Voici la fonction f définie sur R :

f(x) = (x+2)*(e^(2x) - 1)

je trouve une dérivée f' de :

f'(x) = 2xe^(2x)+5e^(2x) - 1

Je souhaite trouver les racines de cette dérivée, pour étudier le signe de la dérivée f' puis les variations de f mais je n'y arrive pas.

J'aurais besoin d'un petit coup de pouce s'il vous plait.

Merci d'avance

Posté par
Calippo
re : Bloquer pour une étude de fonction 03-05-22 à 23:04

Je n'ai pas fait attention aux exposants et aux indices proposées par le forum.

Je re écris ma fonction et sa dérivée.

f(x) = (x+2)(e2x-1)

f'(x) = 2xe2x+5e2x-1

Posté par
LeHibou
re : Bloquer pour une étude de fonction 03-05-22 à 23:08

Bonsoir,

Tu ne trouveras pas de racine explicite de la dérivée première.
En revanche, tu trouveras facilement la ou les racines de la dérivée seconde et donc son signe.
Tu peux donc dans un premier temps étudier la dérivée première à l'aide de la dérivée seconde, puis dans un second temps seulement étudier la fonction à l'aide de la dérivée première.

Posté par
Calippo
re : Bloquer pour une étude de fonction 03-05-22 à 23:43

f''(x) = 12e2x+4xe2x

que je factorise

f''(x) = (12+4x)e2x

elle s'annule en x = - 3

f'' < 0 pour x appartenant à ]-oo , -3]
f'' >0 pour x appartenant à [3, +oo[

donc f' décroissante sur  ]-oo , -3] et f' croissante sur [3, +oo[

f' admet un minimum de -e-6-1 en x = - 3

Je ne vois pas ensuite comment poursuivre pour étudier f

Posté par
Calippo
re : Bloquer pour une étude de fonction 03-05-22 à 23:45

erreur dans 2 de mes intervalles, c'est bien - 3, et non 3

Posté par
LeHibou
re : Bloquer pour une étude de fonction 03-05-22 à 23:56

Montre que la limite de f' en - est -1.
Tu peux alors dire que f' qui est décroissante de - à -3 est également négative de - à -3
A partir de -3, f' est croissante et sa limite est + est +
f' possède donc une racine unique entre -3 et +, appelons-là
Tu eux donc dire que f est décroissante de - à , présente un minimum en , et est ensuite croissante de à +
Tu peux faire un tracé de f et de f' avec Geogebra, ou sur ta calculatrice, pour vérifier tout cela et avoir une idée approximative de la valeur de

Posté par
Calippo
re : Bloquer pour une étude de fonction 03-05-22 à 23:58

Je suis en classe de première.

Nous n'avons pas abordé le chapitre sur les limites

Posté par
Calippo
re : Bloquer pour une étude de fonction 04-05-22 à 00:09

Est-il possible de conclure sur les variations de f sans l'utilisation des limites sur f' et de la représentation graphique ?

Posté par
alfpfeu
re : Bloquer pour une étude de fonction 04-05-22 à 01:28

Bonjour,
Le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à la fonction dérivée sur [-3;0] te permet de prouver l'existence d'un unique alpha dans cet intervalle tel que f'(alpha)=0
f'(-3) <0
f'(0)=4 >0
Tu peux affiner l'intervalle et donner une approximation de alpha.
Cela te permet d'écrire le tableau de variations de f.
Merci

Posté par
alfpfeu
re : Bloquer pour une étude de fonction 04-05-22 à 01:36

juste pour rajouter que pour x <-3

2xe^{2x}<0\\\\ 2xe^{2x}+5e^{2x}-1<5e^{-6}-1<0

la dérivée ne s'annule pas pour x<-3

Merci

Posté par
Calippo
re : Bloquer pour une étude de fonction 04-05-22 à 03:02

Je suis en première, je ne connais ni le théorème des valeurs intermédiaires, ni les limites. Du coup, je ne sais pas quel est le signe de la dérivée en -oo, ni en +oo

Et pour x = - 3, je parlais de la dérivée seconde qui s'annulait sur cette valeur.

Posté par
Calippo
re : Bloquer pour une étude de fonction 04-05-22 à 03:15

Je viens de relire le dernier message.

Alors, oui pour x<-3, la dérivée est toujours négative, mais je ne connais pas le comportement de la dérivée entre [-3, +oo[

Je vous remercie de votre aide à vous et lehibou, mais vous utilisez des notions que je n'ai pas vu (limite, théorème des valeurs intermédiaires)

L'exercice n'est donc pas réalisable avec les notions apprises en classe de première ? Sans tracer de courbe, où là, la solution devient triviale

Posté par
alfpfeu
re : Bloquer pour une étude de fonction 04-05-22 à 04:12

Bonjour,

Sans le TVI, cela va être difficile de montrer l'existence et l'unicité du alpha tel que f'(alpha)=0.
Avant la réforme du bac, le TVI était au programme de Première.

Quel est le contexte de cette question? Pourrais-tu nous donner l'énoncé complet?
Si c'est un exercice donné par ton professeur tu dois avoir dans le cours les outils pour le résoudre.

Merci

Posté par
Calippo
re : Bloquer pour une étude de fonction 04-05-22 à 08:24

Oui bien sûr, voici l'énoncé au complet.

Soit f(x) = (x+2)(e2x-1) pour x

1) Donner le tableau de signe de f (Je n'ai eu aucun souci pour le signe de f)
2) Donner le tableau de variation de f (Je suis bloqué comme vous avez pu le voir dans mon sujet)

Sûrement pour le TVI, mais depuis, la réforme a eu lieu, et nous n'avons appris ni les limites, ni le TVI, ni quoique ce soit dans le cours qui puisse me donner une piste pour résoudre cet exercice avec les éléments que je possède.

On a étudié, en plus dans les exercices, la position de courbe l'une par rapport à l'autre, mais rien de plus (en étudiant le signe de f(x) - g(x) par exemple)

Peut-être que mon professeur n'a pas fait attention à la fonction qu'il nous a donné, et que celui-ci n'est pas résoluble à notre niveau ?

Merci de vos réponses en tout cas.

Posté par
LeHibou
re : Bloquer pour une étude de fonction 04-05-22 à 09:02

Effectivement, on peut éviter la question de la limite en - en remarquant que f'(x) = (2x+5)e2x-1, et que cette dérivée est < 0 quand 2x+5 < 0 donc x < -5/2

En revanche, comme le fait fort bien remarquer alfpfeu, l'existence et l'inicité de la racine de f' sont impossibles à montrer sans le TVI.

Posté par
Calippo
re : Bloquer pour une étude de fonction 04-05-22 à 17:40

D'accord, je peux donc me prononcer que sur l'intervalle ]-oo; -5/2] pour le signe de f' et donc la variation de f.

Je ne peux pas terminer l'étude de ma fonction sur l'autre intervalle avec les outils mathématiques à ma disposition (hors tracé de graphe).

Je vais m'arrêter donc là.

Merci à tous d'avoir pris de votre temps pour me répondre.

Posté par
LeHibou
re : Bloquer pour une étude de fonction 04-05-22 à 17:57

Merci pour ton retour, fais-nous savoir si tu as un commentaire de ton professeur...

Posté par
Calippo
re : Bloquer pour une étude de fonction 06-05-22 à 14:28

Je n'y manquerai pas



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