J'ai besoin d'une correction!
en espérant que vous allez y jeter un oeil dessus!

Merci d'avance!

Exercice 2:
On a divisé une population en deux catégories "fumeurs" et "non-fumeurs".
Une étude statistique a permis de constater que, d'une génération à l'autre:

*60% des descendants de fumeurs sont des fumeurs,
*10% des descendants non-fumeurs sont des fumeurs.

On suppose que le taux de fécondité des fumeurs est le même que celui des non-fumeurs.
ON désigne par:
* fn le pourcentage de fumeurs à la génération de rang n.
* gn=1-fn le pourcentage de non-fumeurs à la génération de rang n, où n est un entier naturel.
On considère qu'à la génération 0, il y a autant de fumeurs que de non-fumeurs.
On a donc f0=g0=0.5 .

1/ Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste.

Réponse: f0=0.5.
On effectue une boucle de f vers f de 0.6 (probabilité que les descendants des fumeurs sont des fumeurs.
Puis on fait une flèche de f vers g (1-0.6=0.4) c'est la probabilité que les descendants des non-fuemurs soit fumeurs.

On effectue une boucle de g vers g de 0.9 (1-0.1=0.9) c'est la probabilité que les descendants des non-fumeurs sont des non-fumeurs. Et une flèche allant de g vers f de 0.1, c'est la probabilité que les descendants des non-fumeurs sont des fumeurs.

2/ Justifier l'égalité matricielle:
(f(indice)n+1 gn+1)= (fn gn)-A où A désigne la matrice [0.6 0.4]
[0.1 0.9]
Réponse: (pas du tout sure) puisque (d'après le cours) Pn+1=Pn*A
Nous avons donc (fn gn)*A pour (fn+1 gn+1).

3/ Déterminer le pourcentage de fumeurs à la génération de rang 2.
Réponse:
(f2 g2)= (f0 g0)*A²= (0.275 0.725)
Donc (f2 g2)= (0.275 0.725)

4/ Déterminer l'état probabiliste stable et l'interpréter.
Réponse:
L'état probabiliste c'est lorsque P*A=P
Cet état devient stable à partir du rang 2. Cela signifie que pour les années suivantes, aux environs des 72.5% seront des non-fumeurs et 27.5% seront des fumeurs.

5/ Montrer que pour tout entier naturel n, fn+1= 0.5fn+0.1.

Réponse: On fait que f0=0.5, mais aussi on ajoute à cela les 10% soit 0.1 des descendants des non-fumeurs qui sont des fumeurs cela fait:
fn+1=0.5fn+0.1.

6/On pose, pour tout entier naturel n, Un= fn -0.2.
a/ Montrer que la suite (Un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme de la suite.

Réponse: Un= fn-0.2. On sait que la suite géométrique est de la forme de Un+1=Un*q, Donc, on a:
Un+1= fn+1-0.2 où fn+1= 0.5fn +0.1
équivaut à: Un+1= (0.5fn+0.1)-0.2
équivaut à: Un+1=(-0.1fn -0.02) où fn= Un+ 0.02
équivaut à: Un+1=-0.1(Un+0.02) -0.02
équivaut à: Un+1= -0.1Un +0
Un+1= -0.1Un
De raison q= -0.1 et de premier terme: U0=f0-0.2= 0.5-0.2=0.3.

b/ Donner l'expression de Un en fonction de n.
Réponse:
Un+1= -0.1Un
D'après la propiété, Un= q^n * U0
Soit Un= -0.1^n*0.3

c/ En déduire que, pour tout entier naturel n, fn= 0.3*0.5^n+0.2
Réponse:
fn= f0+ n*r
fn=0.5 + n*0.3... je suis coincée..


d/ Déterminer la limite de la suite (fn) lorsque n tend vers +00 et l'interpréter.
Réponse:
Lim fn= lim 0.3*0.5^n+0.2=
n tend vers +00

Lim 0.5^n= 0 car lim -1<q<1 =0 lorsque n tend vers +00
n tend vers +00

donc lim 0.3*0.5^n+0.2= 0.2 car 0.3*0=0 il ne reste que 0.2.
lorsque n tend vers +00

On constate ainsii que plus tard l'état probabiliste se stabilisera à 20% des fumeurs et 80% pour les non-fumeurs.

Merci de bien vouloir corriger mes erreurs..

*** message déplacé ***

il est inutile de poster 2 fois le même exercice, surtout qu'il est tres long !

voici ce que je peux écrire (sans regarder les questions) uniquement en lisant l'énoncé:

fn+1 = 0,6fn + 0,1gn     (1)
gn+1 = 0,4fn + 0,9gn     (2)

et fn+gn=1

qu'est-ce que tu contates ? tu l'écrire sous forme matricielle

fn+1    =    A *   fn
gn+1               gn           j'epère que tu vois les matrices


avce A =   0.6     0.1           A matrixce (2*2)
           0.4     0.9

3-Déterminer le pourcentage de fumeurs à la génération de rang 2
on cherche f2,il calculer f1 g1 (fais les calculs avec fn+1 relation(1), pas besoin de matrice)
f0=0.5 ; f1=0.35; g1=0.65
donc f2=0.6*f1+0.1*g1 =0.275
donc  à la génération de rang 2 il y aura 27.5% de fumeurs.

4-l'état probabiliste stable est tel que
fn+1 =fn
gn+1=gn
résous ce systeme. utilise relation (1) et (2)

tu trouves fn=0.2 et gn=0.8
l'état probabiliste stable est donc caratérisé par des taux de fumeurs et non fumeurs contants, quelle que soit la génération.
il y a 20% de fumeurs et 80% de non fumeurs

5.ton explication ne convient pas.
on a fn+1 = 0,6fn + 0,1gn  or on sait que fn+gn=1 d'ou gn=1-fn
donc fn+1=0.5fn+0.1

6.tu te trompes a ton 2eme "équivaut à"
je trouve Un+1= 0.5Un
donc Un+1=0.3*(0.5)^n
refais le 6c.
pour la limite: raison =0.5 < 1 donc Un converge vers 0 (en +oo bien sur)
donc fn converge vers 0.2. cela signifie que pour les générations futures (bien lointaines), on tend vers l'etat de proba stable, soit 20% fumeurs et 80% Nf.