Niveau Licence-pas de math

Calcul d'intégrale en utilisant le théorème des residus

Posté par
cercus 28-11-18 à 15:36

Bonjour, je bloque devant une integrale qui m'a l'air simple :

Calculer l'integrale $\int_{0}^{2\pi}{\frac{3+cos(2\theta) }{2+sin(2\theta) }}d\theta$ avec le théorème des residus :

Théorème des residus : $\oint_{\gamma }^{}{f(z)dz}= 2\pi i\sum_{k}^{}{Res(f(z),z_k)}$

L'integrale est du type $\int_{0}^{2\pi}{f(cos(\theta ),sin(\theta ))d\theta }$
avec $f(cos(\theta ),sin(\theta )) = \frac{3+cos(2\theta) }{2+sin(2\theta) }$

Je sais que $sin(2\theta ) = 2cos(\theta )sin(\theta ) = 2*(\frac{z+\frac{1}{z}}{2})*(\frac{z-\frac{1}{z}}{2i}) = \frac{1}{2i}(z^2-\frac{1}{z^2})$
et que $cos(2\theta ) = \frac{1}{2}(z^2+\frac{1}{z^2})$

On a donc $\int_{0}^{2\pi}{\frac{3+cos(2\theta) }{2+sin(2\theta) }}d\theta = \oint_{\gamma }^{}{\frac{3+\frac{z^2+\frac{1}{z^2}}{2}}{[2+\frac{1}{2i}(z^2-\frac{1}{z^2}){}]iz}}dz = \oint_{\gamma }^{}{\frac{6+z^2+\frac{1}{z^2}}{4iz+z^3-\frac{1}{z}}}dz = \oint_{\gamma }^{}{\frac{6z^2+z^4+1}{z(4iz+z^4-1)}}dz$

On a donc $f(z) = \frac{6z^2+z^4+1}{z(4iz+z^4-1)}$ .

Je calcule donc les poles de f(z) mais je trouve pas de "belle racines" (sauf z = 0).

Je me suis trompé quelque part ?

Posté par re : Calcul d'intégrale en utilisant le théorème des residus 28-11-18 à 16:15

peut-être revoir tes calculs ...

Posté par re : Calcul d'intégrale en utilisant le théorème des residus 28-11-18 à 16:34

Déjà on peut faire le cdv $u = 2\theta$ pour enlever le facteur 2 !

Ca te permet aussi d'avoir un dénominateur de degré 2

Posté par re : Calcul d'intégrale en utilisant le théorème des residus 28-11-18 à 16:44

$A:=  \int_{0}^{2\pi}{\frac{3+cos(2\theta) }{2+sin(2\theta) }}d\theta$ ,
$u(\theta ) := \frac{3+cos(2\theta) }{2+sin(2\theta) }$

u est  -périodique  donc A  = 2B où B est    l'intégrale sur [0 , ] de u   .
Le  changement de variable   = t/2    permet d'exprimer B comme l'intégrale sur [0 , 2] d'une fonction de la forme F(e^it) où F est une fraction rationnelle  simple  .

Posté par re : Calcul d'intégrale en utilisant le théorème des residus 28-11-18 à 17:04

Et en ce qui concerne ton erreur c'est 4iz² au dénominateur

Posté par re : Calcul d'intégrale en utilisant le théorème des residus 28-11-18 à 17:13

c'est un bon exercice de chercher ses erreurs ... dommage ...

Posté par re : Calcul d'intégrale en utilisant le théorème des residus 28-11-18 à 18:31

En faisant le changement de variable, j'arrive à f(z) = $\frac{6z+z^2+1}{z(4iz+z^2-1)}$

Posté par re : Calcul d'intégrale en utilisant le théorème des residus 28-11-18 à 22:15

Je trouve comme pôle de f(z) : z₁ = 0, z₂ = i(sqrt(3)-2), z₃ = -i(sqrt(3)+2).

Seul z₁ et z₂ appartiennent à la coube

$Res(f(z),z_1) = \lim_{z -> z_1} z\frac{6z+z^2=1}{z(z-z_1)(z-z_2)} = -1$
et $Res(f(z),z_2) = \lim_{z -> z_2} (z-z_2)\frac{6z+z^2+1}{z(z-z_1)(z-z_2)} = 1+\frac{i(6\sqrt{3}-12)}{-6+4\sqrt{3}}$

On a donc $\int_{0}^{2\pi}{\frac{3+cos(2\theta) }{2+sin(2\theta) }}d\theta = 2\pi i(-1+1+\frac{i(6\sqrt{3}-12)}{-6+4\sqrt{3}}) = 2\sqrt{3}\pi$