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Les nombres complexes

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I- Généralités

1- Présentation de \Large \mathbb{C}

Définition
L'ensemble  \mathbb{R} \times \mathbb{R} muni des lois de composition internes :
 \bullet  (x, y) + (x' , y') = (x + x' , y + y') \\\bullet  (x, y)(x', y') = (xx' - yy' , xy' + x'y)
est un corps appelé corps des nombres complexes et noté \mathbb{C}.

Remarque :
Dans  \mathbb{C}, on définit :
Le zéro :  (0,0)
L'unité :  (1,0)

Définition : "L'unité imaginaire d'Euler"
L'élément  (0,1) qui vérifie :  (0,1)(0,1) = (-1,0)= -1_{\mathbb{C}} est appelé l'unité imaginaire d'Euler.
On notera dorénavant  i à la place de  (0,1).

On a :  i^2 = -1_{\mathbb{C}}.

Opposé et inverse d'un élément :
 (-x,-y) est l'opposé de  (x,y)
 \left(\dfrac{x}{x^2+y^2} , \dfrac{-y}{x^2+y^2} \right) est l'inverse de  (x,y) \neq (0,0)

Injection canonique de  \mathbb{R} dans  \mathbb{C}
\bullet L'application  \begin{array}{rcccl} \phi&:&\mathbb{R}&\to& \mathbb{C}\\ & &x &\mapsto &(x,0)\end{array} est un morphisme injectif de corps.
\bullet  ( \mathbb{R} , + , \times) est isomorphe au sous-corps  \mathbb{C}^' =\lbrace  (x,0) / x \in \mathbb{R} \rbrace de  \mathbb{C}.
\bullet On convient alors d'identifier un élément  (x,0) de  \mathbb{C}^' à l'élément  x de  \mathbb{R}. On écrira donc  x au lieu de  (x,0). En particulier :
 \circ\text{ } 0 à la place de  0_{\mathbb{C}} = (0,0) .
 \circ\text{ } 1 à la place de 1_{\mathbb{C}} = (1,0) .
\bullet D'après ce qui précède, on convient de dire que  \mathbb{R} est inclus dans  \mathbb{C} et on note :   \mathbb{R} \subset \mathbb{C}
Il est important de noter que l'identification de  (x,0) avec  x n'a de sens que parce qu'il existe l'injection  \phi définie ci-dessus. Ainsi, lorsque l'on écrit "  x = (x,0) " , l'injection  \phi est sous-entendue, l'écriture correcte étant  \phi(x) =(x,0). On dit aussi de manière abusive que  \mathbb{R} est une partie de  \mathbb{C} et on note  \mathbb{R} \subset \mathbb{C}, là encore, l'injection  \phi est sous-entendue. Nous devrions écrire  \phi(\mathbb{R}) \subset \mathbb{C} et dire " on identifie  \mathbb{R} à une partie de  \mathbb{C} via l'injection canonique  \phi", mais par habitude, on conserve toujours les notations normales (sans noter le  \phi à chaque fois).

Forme algébrique d'un nombre complexe :
Soit z = (x,y) un élément de \mathbb{C}.
\bullet Nous adoptons la notation  z = x + iy appelée forme algébrique plutôt que la notation z = (x,y), et nous parlerons de nombre complexe z (ou du complexe z) plutôt du couple z.
\bullet Le réel x est appelé partie réelle du complexe z et il est noté \mathcal{R}e(z) .
\bullet Le réel y est appelé partie imaginaire du complexe z et il est noté \mathcal{I}m(z) .
On a alors : \boxed{z = \mathcal{R}e(z) + i \enskip\mathcal{I}m(z)}
\bullet Si \mathcal{R}e(z)=0 , z est dit imaginaire pur . On note i\mathbb{R} l'ensemble des imaginaires purs, i\mathbb{R}=\left\lbrace{ z\in\mathbb{C} \enskip / \enskip \mathcal{R}e(z)=0\rbrace\right
\bullet Si \mathcal{I}m(z)=0 , z est réel , on a donc \mathbb{R}=\left\lbrace z\in\mathbb{C} \enskip / \enskip \mathcal{I}m(z)=0\rbrace\right
\bullet Soit z=x+iy\in \mathbb{C} , son opposé est alors -z=-x-iy
\bullet Soit z=x+iy\in \mathbb{C}^* ( c'est-à-dire z non nul), l'inverse de z, noté z^{-1} s'écrit : z^{-1}=\dfrac{x-iy}{x^2+y^2}

Formules de calcul
Proposition
Soient z et z' deux nombres complexes respectivement de forme algébrique z=x+iy \text{ et } z'=x'+iy' \enskip \left(x,y,x',y' \in\mathbb{R})\right, on a :
\\\bullet \enskip z=z' \iff x=x'\text{ et } y=y'\\\bullet \enskip z+z'=(x+x')+i(y+y')\\\bullet \enskip zz'=(xx'-yy')+i(x'y+xy')

Remarques :
1) Il résulte de la proposition précédente que pour tous nombres complexes z \text{ et } z' , on a :
\bullet \enskip \mathcal{R}e(z+z')=\mathcal{R}e(z)+\mathcal{R}e(z') \\\bullet \enskip  \mathcal{I}m(z+z')=\mathcal{I}m(z)+\mathcal{I}m(z')\\\bullet \enskip \forall \lambda\in\mathbb{R} \enskip : \enskip  \mathcal{R}e(\lambda z)=\lambda \mathcal{R}e(z) \text{ et } \mathcal{I}m(\lambda z)=\lambda \mathcal{I}m(z)
2) On calcule aisément les puissances de i : i^0=1 ,\enskip i^1=i ,\enskip  i^2=-1 ,\enskip ,i^3= -i \enskip, \text{ et } \forall k\in\mathbb{N}^{*} \text{ : } i^{4k}=1 ,\enskip i^{4k+1}=i ,\enskip i^{4k+2} = -1, \enskip i^{4k+3}=-i
3) Il n'existe sur \mathbb{C} aucune relation d'ordre total compatible avec les opérations d'addition et de multiplication présentées ci-dessus. Il est toutefois possible de définir des relations d'ordre total sur \mathbb{C}, comme par exemple l'ordre lexicographique définie par : x+iy\leq x'+iy' \iff x<x' \text{ ou } \left(x=x'\text{ et } y\leq y'\right)

2- Conjugué d'un nombre complexe

Défintion
Soit z \in \mathbb{C} avec z = x + iy, (x,y) \in \mathbb{R}^2.
On appelle conjugué du nombre complexe z le nombre complexe noté \bar z et donné par : \bar z = x - iy.

Remarque :
 \bullet \mathcal{R}e(\bar z) = \mathcal{R}e(z). \\\bullet \mathcal{I}m(\bar z) = - \mathcal{I}m(z).
Proposition
Pour z et z' dans \mathbb{C}, on a :
\bullet \overline{z+z'} = \bar z + \bar z'.\\\bullet \overline{zz'} = \bar{z} \bar{z'}.\\\bullet  \bar{\bar{z}} = z.

Remarque :
Soit z\in\mathbb{C} , par récurrence immédiate, on a : \forall n\in\N  :\enskip \overline{z^n}=\bar{z}^n
De plus, si z\in\mathbb{C}^{*} , on a zz^{-1}=1, donc \overline{z^{-1}}=\bar{z}^{-1} , et on généralise: \forall z\in\mathbb{C}^{*} , \enskip \forall n\in\Z :\enskip  \overline{z^n}=\bar{z}^n
Proposition
Pour tout z\in\mathbb{C} :
\mathcal{R}e (z) = \dfrac{1}{2} (z+\bar z) \text{ et }\mathcal{I}m(z) = \dfrac{1}{2i} (z-\bar z).

Remarque :
En conséquence :
\bullet z=\bar{z} \iff z\in\R \\\bullet z=-\bar{z} \iff z\in i\R

Exercice
Pour z\in\C, soit \alpha=1+iz.
Trouver tous les complexes z tels que \alpha soit réel.

Solution :
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3- Interprétation géométrique

On appelle plan complexe le plan \mathcal{P}_{\mathbb{C}} muni d'un repère orthonormal (O,\vec{i},\vec{j}). Notons \mathcal{V} l'ensemble des vecteurs de \mathcal{P}_{\mathbb{C}}.
A tout nombre z=x+iy\in\mathbb{C} , on associe le point M\in\mathcal{P}_{\C} (respectivement le vecteur \vec{u} \in\mathcal{V} ) ayant pour coordonnées (x,y) dans le repère (O,\vec{i},\vec{j}) ( respectivement dans la base (\vec{i},\vec{j}) ).
On dit que le point M(x,y) (respectivement le vecteur \vec{u}(x,y) ) est l'image de z , et on dit que z est l'affixe du point M (respectivement du vecteur \vec{u}) .
Les nombres complexes - supérieur : image 6
Proposition
1) Soient A,B \in\Mathcal{P}_{\C} d'affixes z_{A} et z_{B} . Alors le vecteur \overrightarrow{AB} a pour affixe z_{B}-z_{A}
2) Soient \vec{u} et \vec{u'} deux vecteurs de \mathcal{V} d'affixes respectifs z et z' et \lambda\in\R. Alors les vecteurs \vec{u}+\vec{u'} et \lambda\vec{u} ont respectivement pour affixes z+z' et \lambda z

Proposition
Soit M\in\mathcal{P}_{\C} d'affixe z.
Le point M'\in\mathcal{P}_{\C} d'affixe \bar{z} est le symétrique de M par rapport à l'axe des abscisses (O,\vec{i})


Les nombres complexes - supérieur : image 3


4- Module d'un nombre complexe

Définition
Soit z \in \mathbb{C} écrit sous forme algébrique z = x + iy. Le nombre z \bar{z} = x^2 +y^2 est réel positif.
On appelle module de z et on note |z| le réel positif \enskip|z| = \sqrt{z\bar{z}}=\sqrt{x^2+y^2}.

Propriétés
Pour tout complexe z\in\C :
\bullet|z| = |\bar z| = |-z| = |-\bar z|\\\bullet |\mathcal{R}e(z)| \leq |z| \text{ avec égalité  si } z\in\R  \\\bullet |\mathcal{I}m(z)| \leq |z|\text{ avec égalité  si } z\in i\R \\\bullet \text{ Si de plus, } z\neq 0 \text{ , alors : } z^{-1}=\dfrac{\bar{z}}{|z|^2}

Proposition
Soit  z\in\C.
\bullet Si M est le point d'affixe z, alors le module de z est égal à la OM.
\bullet Si \vec{u} est le vecteur d'affixe z, alors le module de z est égal à ||\vec{u}||

Proposition
Pour tous nombres complexes z \text{ et } z ' \text{ de } \C:
\bullet |z|=0 \iff z = 0\\\bullet |zz'| = |z||z'|\\\bullet | z + z'| \leq |z|+|z'| \text{ (Inégalité triangulaire) }.

Exercice : Preuve de l'inégalité triangulaire
En évaluant le carré des deux membres, prouver l'inégalité triangulaire.

Solution :
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Remarques :
1) L'égalité se produit si et seulement si \mathcal{R}e(z\bar{z'})=|z\bar{z'}|. Donc si z\bar{z'} est un réel positif égale à son module.
Dans le cas où z'\neq 0 , ceci est équivalent à dire que \dfrac{z}{z'}=\dfrac{z\bar{z'}}{|z|^2}\in\R^{+}
On conclut qu'il y a égalité si et seulement si z ou z' est nul, ou si leur rapport est un réel positif (\exists k\in\R \text{ / } z=kz' ), c'est-à-dire que leurs images et le point O sont alignés.

2) L'inégalité triangulaire tire son nom du fait que dans un triangle (ABC), la longueur d'un côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres, ce qui se traduit par exemple par :
AB=|z_B-z_A|=|z_B-z_C+z_C-z_A|\leq |z_B-z_C|+|z_C-z_A|=BC+AC.
Proposition
Soient z,z'\in \C.
On a :  ||z|-|z'||\leq |z-z'|

Exercice
Démontrer la proposition précédente

Solution :
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II- Equation du second degré dans  \red \C

1- Racines carrées d'un nombre complexe

On s'interesse ici aux racines carrées d'un complexe, les racines n-ièmes seront traitées ultérieurement.
Soit \omega\in\C \text{ / }\omega=a+ib , on dit que z_0\in\C est racine carrée de \omega si z_0^2=\omega. Dans ce cas, l'ensemble des racines carrées de \omega est \left\lbrace -z_0, z_0\rbrace\right
On distingue deux cas:
Cas 1) \omega\in\R
Ou encore b=0, dans ce cas, l'ensemble des racines carrées de \omega est :
S=\left \lbrace\begin{array}{cl} { \left\lbrace -\sqrt{a}, \sqrt{a}\rbrace\right &\enskip \text{ si } a>0 \\\left\lbrace 0 \rbrace\right &\enskip \text{ si } a=0 \\ \left\lbrace -i\sqrt{-a}, i\sqrt{-a}\rbrace\right  &\enskip \text{ si } a< 0  \end{array}

Cas 2) \omega\notin \R
Ou encore b\neq 0 , on cherche les racines carrées sous la forme z=x+iy
On a : z^2=\omega \iff (x+iy)^2=a+ib\iff x^2-y^2+i(2xy)=a+ib\iff \left \lbrace\begin{array}{cl} {x^2-y^2=a  \enskip (I)\\ 2xy=b  \enskip (II) \end{array}
Et en prenant le module :
|z^2|=|\omega| \iff |z|^2=|\omega|\iff x^2+y^2=\sqrt{a^2+b^2} \enskip (III)
De (I) et (III), on obtient : x^2=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{a^2+b^2}+a)\right \enskip \text{ et } \enskip y^2=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{a^2+b^2}-a)\right
Ces nombres réels étants positifs, puisque  \sqrt{a^2+b^2} \geq |a|, on déduit x et  y.
On obtient quatre couples de solutions, mais d'après (II), on ne retient que ceux pour lesquels xy est du même signe que b. Ce qui donne bien deux couples de solutions opposées.
D'où le résultat suivant :

Proposition
Tout nombre complexe non nul possède deux racines distinctes opposées


Exemple :
On cherche les racines carrées de \omega=2-3i.
Posons z=x+iy \text{ / } z^2=\omega
z^2=\omega\iff (x+iy)^2=2-3i\iff \left \lbrace\begin{array}{cl} {x^2-y^2=2\\ 2xy=-3 \end{array}
De plus, en prenant les modules : x^2+y^2=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}
On en tire que :
x=-\sqrt{\dfrac{1}{2}(\sqrt{13}+2})} \enskip \text{ ou } \enskip x=\sqrt{\dfrac{1}{2}(\sqrt{13}+2})} \\ y=-\sqrt{\dfrac{1}{2}(\sqrt{13}-2})} \enskip \text{ ou } \enskip y=\sqrt{\dfrac{1}{2}(\sqrt{13}-2})}
Enfin, puisque xy=-\dfrac{3}{2}\leq 0, on obtient les deux racines de  \omega :
z_1=-\sqrt{\dfrac{1}{2}(\sqrt{13}+2})}+i\sqrt{\dfrac{1}{2}(\sqrt{13}-2})}  \enskip \text{ et } \enskip z_2=\sqrt{\dfrac{1}{2}(\sqrt{13}+2})}-i\sqrt{\dfrac{1}{2}(\sqrt{13}-2})}

2- Résolution des équations du second degré


Soient a,b,c\in\C \text{ / } a\neq 0 et étudions l'équation d'inconnue z\in \C suivante : (E)\text{ : } az^2+bz+c=0
Mettons (E) sous sa forme canonique : az^2+bz+c=a\left[\left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right] , et posons  \Delta le discriminent : \Delta = b^2-4ac
On distingue deux cas :

Cas 1) \Delta=0
L'équation s'écrit (E)\text{ : } a\left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0 , ce qui donne une solution double z_0=-\dfrac{b}{2a}

Cas 2) \Delta\neq 0
On note \delta une racine carée de \Delta, (E) s'écrit alors : a\left[\left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^2 -\left(\dfrac{\delta}{2a}\right)^2\right]= 0
On obtient deux solutions : z_1=\dfrac{-b-\delta}{2a} \enskip \text{ et } \enskip z_2=\dfrac{-b+\delta}{2a}
D'où la proposition suivante :
Proposition
Soit (E)\text{ : } az^2+bz+c=0 \text{ où } a,b,c,\in\C \text{ avec } a\neq 0 , et notons \Delta=b^2-4ac et \delta sa racine carrée.
1) Si \Delta\neq 0 , (E) admet dans \C deux solutions distinctes z_1=\dfrac{-b-\delta}{2a} \enskip \text{ et } \enskip z_2=\dfrac{-b+\delta}{2a}
2) Si \Delta= 0 , (E) admet dans \C une solution double z_0=-\dfrac{b}{2a}.


Exemple :
Résolvons dans \C l'équation du second degré suivante : iz^2+(-3+4i)z-5+i=0
Le discriminent de cette équation est : \Delta = (-3+4i)^2-4i(-5+i)=-3-4i\neq 0
On en cherche une racine carrée qu'on note \delta=x+iy, on trouve le système : \left \lbrace\begin{array}{cl} {x^2-y^2=-3  \\ 2xy=-4 \\  x^2+y^2=|-3-4i|=5\end{array}
On trouve les deux racines : \delta_1=-1+2i \text{ ou } \delta_2=1-2i, prenons \delta=\delta_1 (on peut aussi prendre \delta=\delta_2)
On trouve finalement les deux solutions : z_1=\dfrac{3-4i+1-2i}{2i}=-3-2i \text{ et } z_2= \dfrac{3-4i-1+2i}{2i} =-1-i
Proposition
Soient z_1 et z_2 les deux solutions (éventuellement confondues) de l'équation (E) \text{ : } az^2+bz+c=0 \text{ où } a,b,c,\in\C \text{ avec } a\neq 0
On a alors : z_1+z_2=-\dfrac{b}{a} \enskip \text{ et }\enskip z_1z_2=\dfrac{c}{a}

Exemple :
On avait trouvé dans l'exemple précédent, que les deux solutions de l'équation iz^2+(-3+4i)z-5+i=0 sont :
z_1=-3-2i \text{ et } z_2=-1-i

Notons : a=i\text{ , } b=-3+4i \text{ et } c=-5+i
On a bien : z_1+z_2=-1-i-3-2i=-4-3i=i(4i-3)=-\dfrac{-3+4i}{i}=-\dfrac{b}{a}\enskip \text{ et } \enskip z_1z_2=(-3-2i)(-1-i)=3+3i+2i-2=1+5i=-i(i-5)=\dfrac{-5+i}{i}=\dfrac{c}{a}

III- Forme trigonométrique des nombres complexes

1- Le groupe \U des complexes de module 1

Définition
On note \U l'ensemble des nombres complexes de module 1\enskip \text{ : } \enskip \U=\lbrace z\in \C\text{ / } |z|=1\rbrace

Dans le plan complexe \mathcal{P}_{\C} , les images des éléments de \U sont les points du cercle \mathscr{C}(O,1) de centre O et de rayon 1 , appelé cercle unité ou encore cercle trigonométrique de \mathcal{P}_{\C}
Proposition
1) On a 1\in\U
2) Si z,z'\in\U , alors zz'\in\U
3) Si z\in\U, alors z^{-1}\in\U

Remarques :
On a bien évidemment \forall z\in\U \text{ : } \bar{z}\in\U
De plus : \forall z\in\U \text{ : } \bar{z}=z^{-1}  \text{ , en effet : } z\bar{z}=|z|^2=1

Rappel : Congruences
Soit m\in\mathbb{R}^{*}_{+} , on dit que deux réels x et y sont congrues modulo m si et seulement si y-x est un multiple de m, c'est-à-dire : \exists k\in\Z \text{ / } y-x=km , et on note : x\equiv y\enskip [m]
On a les propriérés suivantes :
\bullet x\equi y\enskip [m] \text{ et } x'\equiv y'\enskip[m] \Lonrightarrow x+x'\equiv y+y'\enskip [m]
\bullet  \forall \lambda\in\R \text{ : } x\equiv y\enskip[m] \Longrightarrow \lambda x\equiv \lambda y \enskip [m]
Si I est un intervalle semi-ouvert arbitraire de longueur m\enskip \left( \text{ par exemple } [0,m[ \text{ ou } \left]\dfrac{-m}{2},\dfrac{m}{2}\right] \right) , alors : \forall x\in\R \text{ , } \exists! r\in I \text{ / } x\equiv r\enskip[m]
Proposition
1) Soit z un nombre complexe. Alors z est un élément de \U si et seulement si on peut l'écrire sous la forme : z=\cos \theta + i \sin \theta  \enskip (\theta\in\R)
2) Si \theta_1 , \theta_2\in\R, on a : \left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1=\cos \theta_2 + i \sin \theta_2\right) \iff \theta)1\equiv \theta_2\enskip[2\pi] . En conséquence pour z\in\U, l'ensemble des réels \theta vérifiant 1) est \left\lbrace \theta_0+2k\pi \text{ / } k\in\Z\right\rbrace\theta_0 désigne l'un quelconque de ces réels.


Les nombres complexes - supérieur : image 4

2- Exponentielle complexe

Définition
1) Soit \theta\in\R . On note \text{e}^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta
2) De façon générale, si z est un nombre complexe écrit sous la forme algébrique z=a+ib , on note \text{e}^{z}=\text{e}^{a}\text{e}^{ib}=\text{e}^{a}(\cos b + i\sin b).
L'expression ainsi définie est appelée exponentielle du nombre complexe z. On la note aussi \exp(z)

Proposition
\bullet \enskip\forall \theta,\theta'\in\R \text{ : } \text{e}^{i(\theta+\theta')}=\text{e}^{i\theta}\text{e}^{i\theta'} \\\bullet \enskip\forall z,z'\in\C \text{ : } \text{e}^{z+z'}=\text{e}^{z}\text{e}^{z'}

Proposition
Soit z un nombre complexe. On a les propriétés suivantes :
\bullet\enskip \overline{\text{e}^{z}}=\text{e}^{\overline{z}} \\\bullet\enskip |\text{e}^{z}|=\text{e}^{\mathcal{R}e(z)}

Remarque :
Les éléments de \U sont les complexes de la forme \text{e}^{i\theta} \enskip (\theta\in\R) , de plus : \forall\theta_1,\theta_2\in\R \text{ : } \text{e}^{i\theta_1}=\text{e}^{i\theta_2}\iff \theta_2-\theta_1=2k\pi \text{ , } k\in\Z
A connaître par coeur : \forall k\in\Z \enskip\text{ : }\enskip \text{e}^{i2k\pi}=1 \enskip \text{ et }\enskip \text{e}^{i(2k+1)\pi}=-1
Proposition
Soit \theta un élément de \R. On a : \overline{\text{e}^{i\theta}}=\left(\text{e}^{i\theta}\right)^{-1}=\text{e}^{-i\theta}

Proposition : Formules d'Euler
\forall \theta\in\R\enskip\text{ : }\enskip \cos\theta=\dfrac{\text{e}^{i\theta}+\text{e}^{-i\theta}}{2}\enskip \text{ et } \enskip \sin\theta=\dfrac{\text{e}^{i\theta}-\text{e}^{-i\theta}}{2i}

Lemme
\forall x,y\in\R\enskip \text{ : }\enskip (\cos x+i\sin x)(\cos y + i\sin y)=\cos(x+y)+i\sin (x+y)

Proposition : Formule de Moivre
\forall\theta\in\R\enskip \text{ , }\enskip \forall k\in\Z \enskip\text{ : }\enskip \cos k\theta+i\sin k\theta=(\cos\theta9+i\sin\theta)^{k}

3- Application à la transformation d'expressions trigonométriques

a- Linéarisation :
Il s'agit de transformer une expression polynômiale en \cos\theta et \sin\theta, comme par exemple \cos^4\theta \text{ , } \cos\theta \sin^2\theta  \text{ , } \cos^6\theta+2\cos^2\theta\sin\theta \text{ , }\cdots en une combinaison linéaire en \cos k\theta et \sin l\theta \enskip (k,l \in\Z) , comme par exemple \cos 2\theta +5\sin \theta \text{ , } \dfrac{2}{7}\sin 4\theta + 5\cos 3\theta\text{ , }\cdots
La méthode consiste à exprimer \cos\theta et \sin\theta à l'aide des formules d'Euler, puis à développer l'expression obtenue, et enfin regrouper les termes pour reconstituer des fonctions trigonométriques.

Exemple :
Linéarisation de l'expression E=\cos^2\theta\sin^3\theta

On écrit : E=\cos^2\theta\sin^3\theta=\left(\dfrac{\text{e}^{i\theta}+\text{e}^{-i\theta}}{2}\right)^2\left(\dfrac{\text{e}^{i\theta}-\text{e}^{-i\theta}}{2i}\right)^3
Ce qui donne :

\begin{matrix}-32i E&=&\left(\text{e}^{i\theta}-\text{e}^{-i\theta}\right)\left[\left(\text{e}^{i\theta}+\text{e}^{-i\theta}\right)^2\left(\text{e}^{i\theta}-\text{e}^{-i\theta}\right)^2\right]\\ &=&\left(\text{e}^{i\theta}-\text{e}^{-i\theta}\right)\left(\text{e}^{2i\theta}-\text{e}^{-2i\theta}\right)^2 \\ &=&\left(\text{e}^{i\theta}-\text{e}^{-i\theta}\right)\left(\text{e}^{4i\theta}-2+\text{e}^{-4i\theta}\right) \\&=&\text{e}^{5i\theta}-2\text{e}^{i\theta} +\text{e}^{-3i\theta}-\text{e}^{3i\theta}+2\text{e}^{-i\theta}-\text{e}^{-5i\theta}\end{matrix}

On regroupe les termes conjugués :

\begin{matrix}E&=&\dfrac{\text{e}^{5i\theta}-\text{e}^{-5i\theta}-2(\text{e}^{i\theta}-\text{e}^{-i\theta})- (\text{e}^{3i\theta}-\text{e}^{-3i\theta})}{-32i} \\\\&=&\dfrac{1}{16}\left(-\dfrac{\text{e}^{5i\theta}-\text{e}^{-5i\theta}}{2i}+2\dfrac{\text{e}^{i\theta}-\text{e}^{-i\theta}}{2i}+\dfrac{\text{e}^{3i\theta}-\text{e}^{-3i\theta}}{2i}\right) \\\\&=& \boxed{\dfrac{1}{16}(-\sin 5\theta +2\sin \theta +\sin 3\theta)}\end{matrix}

b- Transformation d'une expression linéaire en une expression polynômiale :

Il s'agit de transformer une combinaison linéaire en \cos k\theta et \sin l\theta \enskip (k,l \in\Z) en une expression polynômiale en \cos\theta \text{ et }\sin\theta .
La méthode consiste à utiliser la formule de Moivre : On développe (\cos\theta + i\sin\theta)^{k} avec la formule du binôme, puis on prend la partie réelle (respectivement imaginaire) du résultat pour obtenir \cos k\theta (respectivement \sin l\theta)
Exemple :
Les expressions de \cos 3\theta \enskip \text{ et }\enskip \sin 3\theta
On a : \cos 3\theta+i\sin 3\theta=(\cos\theta+ki\sin\theta)^3=\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta+i(3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta)
Donc : \cos 3\theta= \cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta \enskip \text{ et } \enskip \sin 3\theta=3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta
Or : \cos^2\theta=1-\sin^2\theta \enskip \text{ et }\enskip \sin^2\theta=1-\cos^2\theta
On obtient :
\cos 3\theta=\cos^3\theta-3\cos\theta(1-\cos^2\theta)=\boxed{4\cos^3\theta-3\cos\theta} \\\\ \sin3\theta=3(1-\sin^2\theta)\sin\theta-\sin^3\theta=\boxed{3\sin\theta-4\sin^3\theta}

4- Arguments d'un nombre complexe

Proposition
Soit z\in\C^{*}
1) z s'écrit de manière unique sous la forme : z=ru\text{ où } r\in\mathbb{R}^{*}_{+} \text{ et } u\in\U
2) z s'écrit sous la forme z=r\text{e}^{i\theta} \text{ où } r\in\mathbb{R}^{*}_{+} \text{ et } \theta\in\R


Dans cette écriture, r est unique : c'est le module de z, et \theta est défini modulo 2\pi.
En particulier, la deuxième écriture est unique si on impose à \theta d'appartenir à un intervalle fixé semi-ouvert de longueur 2\pi, tel que [0,2\pi[ \text{ ou } ]-\pi,\pi] par exemple.
Définition
Soit z\in\C^{*} écrit sous la forme z=r\text{e}^{i\theta} \text{ où } r\in\mathbb{R}^{*}_{+} \text{ et } \theta\in\R
Cette écriture est appelée forme trigonométrique de z. On dit que le réel \theta est un argument de z

Les nombres complexes - supérieur : image 5

Remarque :
Le nombre 0 ne possède ni forme trigonométrique, ni argument.

D'après ce qui précède, on a immédiatement :
Proposition
Deux arguments d'un nombre complexe non nul z diffèrent d'un multiple entier de 2\pi. En conséquence, si \theta_0 est un argument de z, alors l'ensemble de tous les arguments est \left\lbrace \theta_0+2k\pi \text{/ } k\in\Z\right\rbrace

On peut donc utiliser la notation suivante : on écrit \arg (z)\equiv \theta \enskip [2\pi] pour exprimer que \theta est un agument de z.

Remarque :
Si z\in\C^{*} s'écrit sous la forme algébrique z=x+iy, alors : \forall\theta\in\R \enskip\text{ : }\enskip \arg(z)\equiv\theta\enskip[2\pi] \iff \left(\cos\theta=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\text{ et }\sin\theta = \dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)
Proposition
Soit z\in\C^{*}
Si M est el point de \mathcal{P}_{\C} d'affixe z , tout argument de z est une mesure de l'angle orienté (\vec{i},\overrightarrow{OM})
Si \vec{u} est le vecteur de \mathcal{V} d'affixe z, tout argument de z est une mesure de l'angle orienté (\vec{i},\vec{u})

Proposition
Soient z,z'\in\C^{*} d'arguments respectifs \theta, \theta' . Alors :
1) \theta+\theta' est un argument de zz', et \theta-\theta' est un argument de \dfrac{z}{z'}
2) -\theta est un argument de z^{-1} ainsi que de \bar{z}

3) \forall n\in\Z\text{ , } n\theta est un argument de z^{n}


5- Racines n-ièmes de 1


Dans ce paragraphe, n\in\N^{*} donné.
Définition
Dans \C, on appelle racine n-ième de l'unité tout complexe z vérifiant z^n=1.
L'ensemble des racines n-ièmes de l'unité est noté \U_{n}

Si z\in\U_{n}, on a z^n=1, et donc |z^n|=|z|^n=1\Longrightarrow |z|=1\iff z\in\U , d'où \U_n\subset \U

Remarque :
On a 1\in\U_n, et si  z,z'\in\U_n, alors zz'\in\U_n \text{ et }z^{-1}\in\U_n
Ces propriétés expriment que \U_n, muni de la multiplication, est un sous-groupe de \U .
Théorème : Expression des racines n-ièmes de 1
L'ensemble \U_n comporte exactement n éléments.
Ce sont les complexes z_0,z_1,\cdots,z_{n-1} définis par :  \forall k\in\left\lbrace 0,1,\cdots, n-1\right\rbrace \enskip \text{ : }\enskip z_k=\text{e}^{ i\frac{2k\pi}{n}}

Remarque :
En notant \zeta=\text{e}^{i\frac{2k\pi}{n}} , on constate que \U_n=\lbrace 1,\zeta,\zeta^2,\cdots, \zeta^{n-1}\rbrace
Cette description est souvent utile dans les problèmes concernant les racines n-ièmes, il est même fréquent que l'on n'ait pas à remplacer \zeta par sa valeur.
Proposition
Si u est une racine n-ième de l'unité distincte de 1, alors : 1+u+u^2+\cdots+u^{n-1}=0
En conséquence, la somme de toutes les racines n-ièmes de l'unité est nulle


Ce résultat découle directement du fait que, comme u\neq 1, on peut utiliser la formule donnant la somme des termes d'une suite géométrique :
1+u+u^2+\cdots+u^{n-1}=\dfrac{1-u^n}{1-u}=0\enskip \text{ car } u^n=1

Exemples :

\bullet n=1 \enskip \text{ : }\enskip \U_1=\lbrace{1\rbrace

\bullet n=2 \enskip \text{ : }\enskip \U_2=\lbrace-1,1\rbrace

\bullet n=3 \enskip \text{ : }\enskip \U_3=\lbrace1,\text{e}^{\frac{2\pi}{3}},\text{e}^{\frac{4\pi}{3}}\rbrace
Les nombres complexes - supérieur : image 2

Notation : On note j=\text{e}^{i\frac{2\pi}{3}} . Et on se rappelle de : j=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\enskip \text{ , }\enskip j^2=\bar{j} \enskip\text{ , }\enskip 1+j+j^2=0

\bullet n=4 \enskip \text{ : }\enskip \U_4=\lbrace{1,i,-1,-i\rbrace
En effet : \text{e}^{i\frac{\pi}{2}}=i\enskip \text{ , }\enskip \text{e}^{i\pi}=-1\enskip \text{ , }\enskip\text{e}^{i\frac{3\pi}{2}}=-i
Les nombres complexes - supérieur : image 7


Remarque :
On constate que les racines n-ièmes de 1 sont les sommets d'un triangle équilatéral et d'un carré, on a la généralisation suivante :
Proposition
Les images dans le plan complexe des racines n-ièmes de l'unité sont les sommets d'un polygone régulier à n sommets inscritdans le cercle unité

On peut calculer la longueur l du côté du polygone :
l=|\text{e}^{i\frac{2\pi}{n}}-1|=|\text{e}^{i\frac{\pi}{n}}\left(\text{e}^{i\frac{\pi}{n}}-\text{e}^{-i\frac{\pi}{n}}\right)|=|\text{e}^{i\frac{\pi}{n}}|\left|2\dfrac{\text{e}^{i\frac{\pi}{n}}-\text{e}^{-i\frac{\pi}{n}}}{2}\right|=2\cos \left(\dfrac{\pi}{n}\right)
Proposition
Pour tout complexe \omega\in\C^{*}, il existe exactement n complexes z vérifiant z^n=\omega.
Si on écrit \omega sous forme trigonométrique \omega=r\text{e}^{i\theta}, il s'agit des complexes z_0(\omega),z_1(\omega),\cdots,z_{n-1}(\omega) définis par :
\displaystyle \forall k\in \lbrace 0,1,\cdots,n-1\rbrace \enskip \text{ : }\enskip z_k(\omega)=\sqrt[n]{r}\text{e}^{i\left(\frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)}

Exemple :
Déterminons les racines cubiques de \omega=1+i
On écrit \omega sous forme trigonométrique : \omega=\sqrt{2}\text{e}^{i\frac{\pi}{4}}
Les racines cubiques sont :
z_0(\omega)=\sqrt[6]{2}\text{e}^{i\frac{\pi}{12}}
z_1(\omega)=\sqrt[6]{2}\text{e}^{i\frac{\pi}{12}}\text{e}^{i\frac{2\pi}{3}}=\sqrt[6]{2}\text{e}^{i\frac{3\pi}{4}}
z_2(\omega)=\sqrt[6]{2}\text{e}^{i\frac{\pi}{12}}\text{e}^{i\frac{4\pi}{3}}=\sqrt[6]{2}\text{e}^{i\frac{17\pi}{12}}

IV- Nombres complexes et géométrie

1- Barycentres

Définition-Proposition
Soient (A_1,\cdots, A_n) des points de \mathcal{P}_{\C} d'affixes respectives z_1,\cdots,z_n et soient (\alpha_1,\dots,\alpha_n) \in\R^{n}\text{ / } \alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n\neq 0.
On appelle barycentre de la famille de points A_1,\cdots, A_n affectés respectivement des coefficients  \alpha_1,\cdots, \alpha_n et on note G l'unique point de \mathcal{P}_{\C} tel que : \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\alpha_k \overrightarrow{GA_k}=\vec{0}
Et en notant z_G l'affixe de G, on a alors : z_G=\dfrac{\alpha_1 z_1+\alpha_2 z_2+\cdots + \alpha_n z_n}{\alpha_1+\alpha_2+\cdots + \alpha_n}

Exemple :
Soient A_1(z_1) et A_2(z_2) deux points de \mathcal{P}_{\C}.
Alors la droite (A_1A_2) est l'ensemble des barycentres de A_1 et A_2
En effet, en exprimant ces barycentres à l'aide de coefficients dont la somme est égale à 1, on obtient : (A_1A_2)=\lbrace M(z)\in\mathcal{P}_{\C}\text{ / } z=\alpha z_1+(1-\alpha)z_2 \text{ , }\alpha\in\R\rbrace
Ce qui correspond à la représentation paramétrique de la droite (A_1A_2)

2- Conditions d'alignement et d'orthogonalité

Proposition
Soient \vec{u_1} et \vec{u_2} deux vecteurs non nuls de \mathcal{V} d'affixes respectives z_1 et z_2
1) \vec{u_1} et \vec{u_2} sont colinéaires si et seulement si \dfrac{z_2}{z_1}\in \R
Si, de plus, ce réel est positif (respectivement négatif), il sont de même sens (respectivement de sens opposés).
2) \vec{u_1} et \vec{u_2} sont orthogonaux si et seulement si \dfrac{z_2}{z_1}\in i\R

Exemple : Equation complexe d'une droite
Soient A,B deux points de \mathcal{P}_{\C} d'affixes a,b respectives et soit M un point variable d'affixe z.
On sait que M\in (AB)\iff \overrightarrow{AM} \text{ et } \overrightarrow{AB} sont colinéaires
Donc :
\begin{matrix} M\in(AB) &\iff& \dfrac{z-a}{b-a}\in\R\\\\&\iff& \dfrac{z-a}{b-a}=\overline{\dfrac{z-a}{b-a}}\\\\&\iff& (z-a)(\bar{b}-\bar{a})-(\bar{z}-\bar{a})(b-a)=0\end{matrix}
On conclut que M\in(AB) si et seulement si (\bar{b}-\bar{a})z-(b-a)\bar{z}+((\bar{a}b-a\bar{b}))=0
Soit (AB)\text{ : }\bar{c}z-c\bar{z}+\lambda=0c=b-a\in\C^{*} \text{ et }\lambda=\bar{a}b-a\bar{b}\in i\R

3- Angles

Proposition
1) Soient \vec{u_1} et \vec{u_2} deux vecteurs non nuls de \mathcal{V} d'affixes respectives z_1 et z_2. Alors une mesure de l'angle orienté ( \vec{u_1},\vec{u_2}) est donnée par un argument de \dfrac{z_2}{z_1}
2) Soient A,B,M trois points de \mathcal{P}_{\C} d'affixes a,b,z respectives. On suppose que M\neq A et M\neq B. Alors une mesure de l'angle orienté (\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}) est donnée par un argument de \dfrac{b-z}{a-z}

4- Similitudes directes - transformations du plan


Si F:M\mapsto M' est une application du plan \mathcal{P}_{\C} dans lui-même, on appellera représentation analytique complexe de F l'application f:\C\mapsto \C qui, à l'affixe z du point M, associe l'affixe z' de son image M' par f. On écrit alors : z'=f(z)
Proposition
1) La représentation complexe de la symétrie orthogonale d'axe (Ox) (respectivement (Oy)) est : z'=\bar{z} (respectivement z'=-\bar{z})
2) Soit \vec{u} un vecteur de \mathcal{V} d'affixe b. La représentation complexe de la translation de vecteur \vec{u} \text{ est : } z'=z+b
3) Soient \lambda\in\R^{*} et \Omega un point d'affixe \omega. La représentation complexe de l'homothétie de centre \Omega et de rapport \lambda est : z'-\omega=\lambda(z-\omega). En particulier, la représentation de l'homothétie de centre O et de rapport \lambda est tout simplement z'=\lambda z
4) Soient \theta\in\R et \Omega un point d'affixe \omega. La représentation complexe de la rotation de centre \Omega et d'angle \theta est : z-\omega =\text{e}^{i\theta}(z-\omega)
En particulier, la rotation de centre O et d'angle \theta est : z'=\text{e}^{i\theta}z
5) Soit \Omega un point d'affixe \omega. La représentation complexe de la symétrie de centre \Omega est z'=-z+2\omega

Définition
On appelle similitude directe toute application du plan \mathcal{P}_{\C} dans \mathcal{P}_{\C} qui admet une représentation complexe de la forme z\mapsto az+b \text{ où } a\in\C^{*}\text{ et }b\in\C définis d'une façon unique.

Proposition
Soit s la similitude directe de représentation complexe z'=az+b avec a\in\C^{*}\text{ et }b\in\C
1) Si a=1, alors s est la translation de vecteur \vec{u}(b)
2) Si a\neq 1, alors s possède un point fixe unique \Omega. On peut alors écrire : s=\rho\circ h=h\circ \rho, où h est l'homothétie de centre \Omega et de rapport \lambda=|a| et \rho la rotation de centre \Omega et d'angle \theta=\arg(a). Nous dirons que s est de centre \Omega, de rapport \lambda et d'angle \theta.

Proposition
\bullet Une similitude directe conserve les angles orientés.
\bullet La similitude directe de représentation complexe z\mapsto az+b multiplie les distances par |a|

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