Fiche de mathématiques
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Les nombres complexes

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I. Présentation de \mathbb{C}

Définition :
L'ensemble \mathbb{R} \times \mathbb{R} muni des lois de composition internes :
      (x, y) + (x' , y') = (x + x' , y + y') \\ (x, y)(x', y') = (xx' - yy' , xy' + x'y)
est un corps appelé corps des nombres complexes et noté \mathbb{C}.

Remarque :
Dans \mathbb{C}, on définit :
      Le zéro : (0,0).
      L'unité : (1,0).
Définition : " L'unité imaginaire d'Euler " :
L'élément (0,1) qui vérifie : (0,1)(0,1) = (-1,0)= -1_{\mathbb{C}} est appelé l'unité imaginaire d'Euler.
On notera dorénavant i à la place de (0,1).

On a : i^2 = -1_{\mathbb{C}}.

Opposé et inverse d'un élément
      (-x,-y) est l'opposé de (x,y).
      \left(\dfrac{x}{x^2+y^2} , \dfrac{-y}{x^2+y^2} \right) est l'inverse de (x,y) \not = (0,0).

Injection canonique de \mathbb{R} dans \mathbb{C}
  • L'application \begin{array}{rcccl} \phi&:&\mathbb{R}&\to& \mathbb{C}\\ & &x &\mapsto &(x,0)\end{array} est un morphisme injectif de corps.
  • ( \mathbb{R} , + , \times) est isomorphe au sous-corps \mathbb{C}' = \lbrace  (x,0) / x \in \mathbb{R} \rbrace  \text{ de } \mathbb{C}.
  • On convient alors d'identifier un élément (x,0) de \mathbb{C}' à l'élément x de \mathbb{R}. On écrira donc x au lieu de (x,0). En particulier :
    • 0 à la place de 0_{\mathbb{C}} = (0,0).
    • 1 à la place de 1_{\mathbb{C}} = (1,0).
  • D'après ce qui précède, on convient de dire que \mathbb{R} est inclus dans \mathbb{C} et on note : \red \mathbb{R} \subset \mathbb{C}.
Il est important de noter que l'identification de (x,0) avec x n'a de sens que parce qu'il existe l'injection \phi définie ci-dessus. Ainsi, lorsque l'on écrit " x = (x,0) ", l'injection \phi est sous-entendue, l'écriture correcte étant \phi(x) = (x,0). On dit aussi de manière abusive que \mathbb{R} est une partie de \mathbb{C} et on note \mathbb{R} \subset \mathbb{C}, là encore, l'injection \phi est sous-entendue. Nous devrions écrire \phi(\mathbb{R}) \subset \mathbb{C} et dire " on identifie \mathbb{R} à une partie de \mathbb{C} via l'injection canonique \phi ", mais par habitude (système international), on conserve toujours les notations normales (sans noter le \phi à chaque fois).

Forme algébrique d'un nombre complexe
Soit z = (x,y) un élément de \mathbb{C}.
  • Nous adoptons la notation z = x + iy appelée forme algébrique plutôt que la notation z = (x,y), et nous parlerons de nombre complexe z (ou du complexe z) plutôt du couple z.
  • Le réel x est appelé partie réelle du complexe z et il est noté \mathfrak{R}e(z).
  • Le réel y est appelé partie imaginaire du complexe z et il est noté \mathfrak{I}m(z). On a alors : z = \mathfrak{R}e(z) + i \mathfrak{I}m(z).
  • Deux nombres complexes sont égaux s'ils ont même partie réelle et même partie imaginaire : \forall x, y, a, b \in \mathbb{R} : les deux complexes z_1 = a + ib et z_2 = x + iy sont égaux ssi : a = x et b = y.
  • Le complexe z est dit imaginaire pur lorsque : \mathfrak{R}e(z) = 0.



II. Conjugué d'un nombre complexe

Défintion :
Soit z \in \mathbb{C} avec z = a + ib, (a,b) \in \mathbb{R}^2.
On appelle conjugué du nombre complexe z le nombre complexe noté \bar z et donné par : \bar z = a - ib.

Remarques :
\mathfrak{R}e(\bar z) = \mathfrak{R}e(z).
\mathfrak{I}m(\bar z) = - \mathfrak{I}m(z).
Propriétés :
Pour z et z' dans \mathbb{C}, on a :
  • \bar{z+z'} = \bar z + \bar z'.
  • \bar{zz'} = \bar{z} \bar{z'}.
  • \bar{\bar{z}} = z.
  • \mathfrak{R}e (z) = \dfrac{1}{2} (z+\bar z).
  • \mathfrak{I}m(z) = \dfrac{1}{2i} (z-\bar z).




III. Module

Définition :
Soit z \in \mathbb{C} avec z = x + iy, (x, y) \in \mathbb{R}^2. Le nombre z \bar{z} = x^2 +y^2 est réel positif.
Le module de z noté |z| est un réel positif |z| = \sqrt{z\bar{z}}.

Propriétés :
Pour tout complexe z.
  • |z| = |\bar z| = |-z| = |-\bar z|.
  • |\mathfrak{R}e(z)| \leq |z| et |\mathfrak{I}m(z)| \leq |z|.

Propriétés :
Pour tous nombres complexes z et z ' :
  • |z|=0 \Longleftrightarrow z = 0.
  • |zz'| = |z||z'|.
  • | z + z'| \leq |z|+|z'|.




IV. Argument d'un complexe

Introduction :
Soit z = x + iy un nombre complexe non nul, avec x et y réels. On a :
  • |z|^2 = x^2+y^2 \not = 0.
  • z = \sqrt{x^2+y^2} \left(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+i\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right).

Ou encore, z = |z| (a+ib) avec a^2 + b^2 = 1. Cela conduit naturellement à la définition suivante :
Définition :
Soit z = x + iy un complexe non nul, avec x et y réels. On appelle argument de z et on note Arg(z), tout réel vérifiant :
\cos (Arg(z)) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}     et     \sin(Arg(z))= \dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.

Parmi ces réels (il y en a une infinité), un seul appartient à l'intervalle ]- \pi , \pi [. On l'appelle l'argument principal. Si on le note \phi, alors tout argument de z vérifie :
Arg(z) = \phi +2k\pi avec k \in \mathbb{Z}.
Ce que l'on note : Arg(z) \bar{=} \phi [2\pi], et on dit alors que Arg(z) est équivalent (ou congru) à \phi modulo 2 \pi.

Remarques :
Contrairement au module qui est défini pour n'importe quel nombre complexe (nul ou non nul), l'argument du nombre complexe nul n'est pas défini.
On retiendra les arguments suivants :
      Arg(1) \bar{=} 0 [2\pi] \\ Arg(i) \bar{=} \dfrac{\pi}{2} [2\pi] \\ Arg(-i) \bar{=} -\dfrac{\pi}{2} [2\pi] \\ Arg(-1) \bar{=} \pi [2\pi]

Forme trigonométrique d'un complexe :
D'après ce qui précède, on constate qu'on peut écrire tout complexe z non nul d'argument Arg(z) sous la forme suivante appelée forme trigonométrique :
      \forall z \in \mathbb{C}^* \; : \; z = |z|\left[\cos(Arg(z)) + i \sin(Arg(z)\right]
Proposition :
Soit z et z' deux complexes non nuls :
z = z' \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{=} c} |z'| & |z| \\ Arg(z') & Arg(z)+2k \pi , k \in \mathbb{Z} \\ \end{array} \right.

Propriétés :
Soit z un complexe non nul :
      Arg(\bar{z}) \bar{=} -Arg(z) [2\pi] \\ Arg(\dfrac{1}{z}) \bar = -Arg(z) [2 \pi ] \\ Arg(-z) \bar{=} Arg(z) + \pi [2\pi] \\ Arg(-\bar{z}) \bar = \pi - Arg(z)  [2\pi]

Propriétés :
Soient z et z' deux complexes non nuls :
      Arg(zz') \bar = Arg(z) + Arg(z') [2\pi] \\ Arg\left(\dfrac{z}{z'}\right) \bar = Arg(z) - Arg(z') [2\pi] \\ \forall n \in \mathbb{N} \; : \; Arg(z^n) \bar{=} n.Arg(z) [2\pi]

Remarque :
Pour se rappeler de ces trois dernières propriétés de "Arg", il suffit de remarquer qu'elles sont identiques à celles de "ln".


V. Notation exponentielle complexe

Notation :
Il est pratique d'utiliser pour tout \theta \in \mathbb{R} la notation exponentielle complexe e^{i \theta} tel que :
      e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin\theta
Donc tout complexe z non nul peut s'écrire sous la forme suivante : z = |z| e^{iArg(z)} avec |z| \in \mathbb{R}_+^* \text{ et } Arg(z) \in \mathbb{R}
Formules d'Euler :
Pour tout \theta \in \mathbb{R}, on a les formules d'Euler suivantes :
      \cos \theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \\ \sin \theta = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}

Formule de Moivre :
Pour tout entier relatif n et pour tout \theta \in \mathbb{R} on a :
      \left(\cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos \left(n \theta\right) + i \sin \left(n\theta\right)

On peut aussi exprimer cette formule en notation exponentielle : \left(e^{i\theta}\right)^n  = e^{i\theta n}

Remarque :
Ces formules précédentes permettent de linéariser des expressions trigonométriques.
Proposition :
Pour tout \theta \in \mathbb{R} :
      |e^{i\theta}| = 1 \\ Arg(e^{i\theta}) \bar = \theta [2 \pi] \\ \bar{e^{i\theta}} = e^{-i\theta} = \dfrac{1}{e^{i\theta}}
\forall (\theta, \theta') \in \mathbb{R}^2 :
      e^{i\theta} e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')} \\ \dfrac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}} = e^{i(\theta-\theta')}




VI. Représentation géométrique

Théorèmes - Définitions :
Soit le plan complexe \mathfrak{P}_{\mathbb{C}} muni d'un repère orthonormal (O, \overrightarrow{e_1} , \overrightarrow{e_2}) direct et soit \mathfrak{V} l'ensemble des vecteurs du plan \mathfrak{P}_{\mathbb{C}} rapporté à le base (\overrightarrow{e_1} , \overrightarrow{e_2}).
L'application qui, au vecteur \overrightarrow{u} de coordonnées (x,y), associe le nombre complexe z = x+iy est une bijection de \mathfrak{V} sur \mathbb{C}.
Un argument de z est une mesure de l'angle de vecteurs (\overrightarrow{e_1} , \overrightarrow{u}), et |z| est la norme du vecteur \overrightarrow{u}.
On dit que z est l'affixe de \overrightarrow{u} et on note : z = aff(\overrightarrow{u}).
L'application de \mathfrak{P}_{\mathbb{C}} dans \mathbb{C} qui, au point M de coordonnées (x,y), associe le complexe z = x+iy est une bijection de \mathfrak{P}_{\mathbb{C}} sur \mathbb{C}.
Un argument de z est une mesure de l'angle de vecteurs (\overrightarrow{e_1} , \overrightarrow{OM}) et |z| = OM (distance). On dit que M est l'image de z et que z est l'affixe de Met on note z = aff(M).
Voici la représentation (\theta est un argument de z) :
Les nombres complexes - supérieur : image 1

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